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激发思维潜能培养数学创新能力
新成学校 卢继红
在新修订的《数学课程标准（版）中明确指出数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可代替的作用。
在竞争日趋激烈的当今社会，各行各业的竞争，归根结底主要是人才的竞争，尤其是创新型人才的竞争。时代的要求，促使我们在教学中应重视学生创新能力的培养。同时，小学数学作为一门基础学科，在教学中培养学生的创新能力显得尤为重要，它是实施素质教育的重要内容之一，更是小学数学教育改革的方向。
一、营造生命化课堂，激发创新欲望
在课堂教学中，教师要尊重学生的主体地位，从让学生机械模仿转变为引导学生探索与创新，要让创新真正走进课堂。首先，教师要放下师道尊严的架子，把微笑带进课堂，通过教师的言语、动作、表情传递给学生亲切、信任、尊重的情感信息，使学生感到老师是可亲可爱的，是学习的合作伙伴。其次，教师要热爱学生，坚持教学民主，在课内创设一个宽松和谐、充满信任的学习氛围，让学生与老师平等相处，一起探索研究，使学生在心理放松的前提下畅所欲言，各抒已见。同时，教师要注意保护学生的独创精神，对学生的新发现，哪怕是微不足道的见解也要及时给予肯定，要允许学生说错、做错，允许学生随时改变自己的说法和做法，鼓励学生发表与老师不同的见解。只有在这样的宽松环境中，才能调动学习的积极性，最大限度地挖掘学生的潜能，有良好的状态参与学习，保持学生自始至终兴趣盎然，主动参与，思维活跃，激发学生创新的欲望，课堂充满生命活力。
二、重视学生质疑问难，培养创新精神
学生质疑问难是探求知识，发现问题的开始。爱因斯坦曾经说过提出一个问题比解决一个问题更重要。因此，学生勤于思考，敢于提出问题，善于提出问题，是他们创新精神的表现。
例如在教学应用题：“有25块棱长是0.6米的正方体大理石，每立方米大理石重2.5吨，如果用载重4.5吨的汽车一次运往工地，运走这些大理石至少需要多少辆汽车？”同学们的解答是：2.5×（0.6×0.6×0.6）×25÷4.5=3（辆），我也认同了这种解法，正要讲下一题时，有个学生提出疑问：如果25块大理石用3辆汽车一次运完，由于25÷3的商不是整数，又不能超过汽车的载重量，那么在实际运输过程中只能把一块或一部分大理石锯开来，分装在这3辆汽车上，而这在实际运输中是不太可能的。所以至少用3辆汽车来运是不对的。听了他这种讲法，我感到很惊喜。想不到这位学生能以事实说话，不迷信老师，不迷信题目，不盲目吸收，能独立思考，而且讲得有理有据，令人信服，这正是创新精神的表现。由此可见教师要重视学生的质疑，并积极地与他们一起探索，去发现更广阔的新天地。
三、鼓励学生求异思维，开发创新潜能
数学是思维的体操，数学课堂教学必须着眼于学生思维能力的培养，尤其是创造性思维能力的培养。在教学时，教师要培养学生思维的多向性，引导学生去探索、去发现别人没想到的方法，从不同的角度寻求多种解决问题的方法，使学生的`聪明才智得到充分的发挥。
例如应用题“服装厂要做1200套服装，计划30天完成，实际每天生产的套数是原计划的1.5倍，实际完成任务用了多少天？”同学们的列式是1200÷（1200÷30×1.5）=20 （天），我肯定了这种解法的同时，又问：“动动脑，还有别的解法吗？”通过鼓励求异，学生能积极动脑，认真思考，也有的分小组展开热烈的讨论。过了一会，有位学生举手回答了另一种解法：因为生产的总套数不变，实际的工作效率是原计划的 1.5倍，那么，反过来计划时间是实际时间1.5倍，列式是 30÷1.5=20（天）。太妙了，多么富有创造性的思考呀！我就对这位同学进行了特别的表扬和鼓励，并给他记了一次创新分。这样做，不仅使学生尝到了成功的喜悦，更重要的是培养了学生思维的独创性，开发了创新的潜能。
四、设计开放性题目，培养创新能力
开放性题目通常不具有定向的解题方法，答案往往不固定或者条件不完备，能给学生提供思维的空间，有利于知识的巩固和提高，有利于思维的开拓和深化。同时，开放性题目由于各个要素的开放性，具有一定的神秘色彩，能使学生对所学内容产生浓厚的兴趣，促使学生积极思考，努力探索与创新。这样可以拓宽学生的思路，发挥学生潜在的学习能力，从而培养学生的创新能力。
例如：“小虎家养了18只母鸡，五月份下了450个蛋，比四月份多下了36个。”让学生自己选择相关的数学信息，提出不同的问题，体会探究解决问题的方法。学生经过充分思考能提出以下问题：
（1）四月份下了多少个蛋？ 450-36=414（个）
（2）两个月共下了多少个蛋？ 450-36+450=864（个）
（3）五月份比四月份平均每只多下几个蛋？ 36÷18=2（个）
（4）五月份平均每只下几个蛋？ 450÷18=25（个）
（5）四月份平均每只下几个蛋？（450-36）÷18=23（个）
（6）四、五月份平均每只下几个蛋？（450+450-36）÷18=48（个）。
如此训练，使学生对知识的理解得到了深化和提高，激发了学习的兴趣，并且达到了发散学生思维的目的，培养了学生的创新能力。
又如：“新华书店、学校、体育馆在同一条街上，新华书店离学校有300米，体育馆离学校有500米，新华书店和体育馆相距多少米？”由于三者所处位置不同，解法也完全不同。一种理解：学校在中间，列式是300+500=800（米），另一种理解：新华书店在中间，列式是500-300=200（米）。像这类题目，突破了常规思考方法，学生根据现实生活，以自己的理解去解题，这样就为学生提供了想象、创造的空间，有利于提高思维的灵活性和创造性。
总之，数学课堂教学是培养学生创新意识和创新能力的主阵地，小学数学教学长期目标中一个重要的方面就是促进学生的可持续发展，而学生的发展体现在日常教学中就是学生思维能力是否得到了提高。教会学生思考，教会学生创新，让他们乐思，善思，会思，将是学生的终生财富。因此，激发思维潜能，培养创新能力，是我们教育工作者永恒不变的追求。
如何激发创新思维的潜能
人类的大脑是世界上最复杂的、也是效率最高的信息处理系统。它的重量只有1600克左右，其中却包含着100多亿个神经元;在这些神经元的周围还有一千多亿个胶质细胞。人脑的存储量大得惊人，在从出生到老年的漫长岁月中，我们的大脑足以记录每秒钟1000个信息单位，也就是说，我们能够记住从小到大周围所发生的一切事情。
头脑象一台信息处理机，其运算速度同样快得惊人。据实验证明，大脑能在几百分之一秒的时间内，接收外界传来的一个人脸的映象，并在四分之一秒的时间内，分析这张脸的详细情况，把这些情况综合成一个整体;然后，大脑便从它的“记忆库”里边所储存的几千个脸孔中识别这一张特定的脸孔，看看以前是否见过它;如果曾见过这张脸孔，大脑还能够回忆起与这张脸孔有关的言谈举止、思想观念、交往的经历等等资料。
1、激发思维潜能的方法：良性暗示
暗示又可分为积极的暗示即“良性暗示”、消极的暗示即“负面暗示”。学者们认为，暗示通过显意识进入潜意识，到达意识的深层部分。从这个方面讲，潜意识乃是暗示的积累与沉淀。它深刻地，从根本上影响着、折射着、塑造着人的生命。暗示在深层潜意识中深沉地潜伏着，广大地弥漫着、持久地延续着、多方地沟通着。与显意识相比，潜意识平时处于压抑状态，暗示积淀的各种各样的图景处在被压抑、被封锁、被束缚、少自由、被控制状态。遇到偶然的机会，也会冒出来，在意识中出现，其表现形式即为灵感、直觉、想象等。
积极暗示能够开发头脑中的思维潜能，应该尽可能多地从周围环境和别人那里得到积极暗示，或者直截了当地对自己进行良性暗示，同时要拒绝和抛弃那些压抑思维潜能的消极暗示。
自我暗示的五条原则： 1.简洁：默念的句子要简单有力。例如：“我越来越进步”等等。2.正面：这一点极为重要，消极的语言会印在潜意识里。3.信念：句子要有“可行性”，以避免与心理产生矛盾与抗拒。4.观想：默诵或朗诵自己定下的语句时，要在脑海里清晰地形成意象。5.感情：要把感情贯注进去，否则光嘴里念是不会有结果的，潜意识是依靠思想和感受的协调去运作的。
2、激发思维潜能的方法：幽默氛围
幽默，是个人生活中的“味精”，对于缓解生活紧张、调谐人际关系，都有重要的作用。引发幽默和欣赏幽默的能力，是个人修养水平的一个标志。从创新思维的角度来说，各种类型的幽默都是言谈举止方面所表现出来的一种创意。也就是说，能够引我们发笑的地方，一定是出乎意料之外的新东西，对于众所周知的陈旧的事物，人们是不会发笑的。
列维奈认为，幽默与创新思维之间存在着密切的关系，一个人为了激发出幽默，必然要摆脱理性思考和固有结论的束缚，而这正是创新思维的必要条件。
幽默故事的构成通常都是这样的：起初是一连串合乎逻辑的情节发展，并让听众产生紧张感，急于想知道结局;然后，一条出人意料的线索突然插进来，形势便急转直下，使原先那条线索成为一个虚假的问题，原先的紧张感突然消失，听众便不由自主地笑起来。
开放思维潜能的一种重要方法，就是让专家学者以及各行各业的顶尖人物聚集一堂，不预设什么严肃的课题，而是充分发挥想象力，鼓励他们胡思乱想，越逗人笑越好。
3、激发思维潜能的方法：快乐心灵
“快乐”与“幸福”含义相同，在许多种语言中，二者都是使用同一个词来表示的。快乐在我们看来是有价值的东西，是人生追求的重要目标，甚至可以说是最重要的目标;中外历史上很多著名的伦理学家，都把“最大多数人的最大幸福(快乐)”当作全社会的追求目标，用来衡量各类事物是否有价值及其价值大小的最终标准。
快乐，说到底是心理快乐，是主体自我感觉到的一种自在、舒服的心理状态。快乐自身与引起快乐的原因是两回事，快乐可以由物质性的东西引起，但是快乐本身却不是物质性的东西，而是精神性的东西。既然人们都认为快乐是有价值的，那么，怎样才能得到快乐呢?初看起来，这个问题很简单。快乐是由许多不同的事物引起的，只要我们确认了那些作为快乐原因的事物，并且想方设法得到它们，我们不就能够在那些事物的刺激下获得快乐了吗?所谓“寻找快乐”，不过是寻找那些能够引起快乐的事物罢了!
人生万事，都能引起我们的快乐，关键是去寻找;而寻找快乐的最好工具，就是创新思维。新的思维视角能够引发快乐，而旧的思维定势则能够导致痛苦;许多科学实验都已经证明了这一点。
4、右脑思维
大脑的左、右两个半球分别称为左脑和右脑。它们表面有一层约3毫米厚的大脑皮质或大脑皮层。两半球在中间部位相接。1981年，美国神经生理学家斯佩里发现了人的左脑、右脑具有不同的功能。右脑主要负责直感和创造力，或者称为司管形象思维，判定方位等，左脑主要负责语言和计算能力，或称为司管逻辑思维。一般认为，左脑是优势半球，而右脑功能普遍得不到充分发挥。
从创新思维的角度来说，开发右脑的功能是意义十分重大的。因为右脑活跃起来有助于打破各种各样的思维定势，提高想像力和形象思维能力。近年来，不少人对锻炼、开拓右脑功能发生浓厚兴趣。提倡开拓右脑，正是为了求得左、右脑平衡，沟通和互补，以期最大限度地提高人脑的效率。两个大脑半球的活动更趋协调后，将进一步提高人的智力和创新能力。
5、头脑风暴法
原意为用脑力去冲击某一问题。作为一种创造方法，它在韦氏国际大字典中被定义为：一组人员通过开会方式对某一特定问题出谋献策，群策群力，解决问题。这种方法的特点是：克服心理障碍，思维自由奔放，打破常规，激发创造性的思维活动，获得新观念，并创造性地解决问题。奥斯本创建此法最初是用在广告的创造性设计活动中。取得了很大成功。后经本人不断改进和泰勒、帕内斯、戈登等人完善和发展，终于成为世界范围内应用最广泛、最普及的集体创造方法，在技术革新，管理革新、社会问题的处理、预测、规划等许多领域都显示了它的威力。
头脑风暴法何以能激发创造思维?根据奥斯本本人及研究者的看法，主要有以下几点：
第一，联想反应联想是产生新观念的基本过程。在集体讨论问题的过程中，每人提出一个新观念，都能引发他人的联想。相继提出一串的新观念，产生连锁反应，形成新观念堆，为创造性地解决问题提供了更多的可能性。
第二，热情感染在不受任何限制的情况下，集体讨论问题能激发人的热情。人人自由发言、互相影响、互相感染，能形成热潮，突破固有观念的束缚，最大限度地发挥创造性的思维能力。
第三，竞争意识在有竞争意识的情况下，人人争先恐后，竞相发言，不断地开动思维机器，力求有独到见解，新奇观念。心理学的原理告诉我们，人类有争强好胜心理，在有竞争意识的情况下，人的心理活动效率可增加50%或更多。
第四，个人欲望在集体讨论解决问题过程中，个人的欲望自由，不受任何干预和控制，是非常重要的。头脑风暴法有一条原则，不得批评他人的发言，甚至不许有任何怀疑的表情，动作、神色。这就能使每个人畅所欲言，提出大量的新观念。
数学创新思维培养
一、“数”“形”结合解题法的理论概述
（一）方法释义
首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。
其次，关于数形结合的释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。
（二）解题思路
在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。
二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析
（一）解析几何中圆类问题
实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。这是最基本的用“数”“形”结合方式解答圆类问题。为更为详尽的说明，下文将针对对“数”“形”结合法速解解析几何圆类问题作出例题说明：
例题1：已知曲线y=1+√（4-x2）与直线y=k（x-2）+4交于两个不同的点，求实数k的取值范围。
解析：将曲线y=1+√（4-x2）变形，得x2+（y-1）2=4（1≤y≤3），可知曲线是以点A（0，1）为圆心，2为半径的圆，但是值域y要大于1，因此是上半圆；
直线y=k（x-2）+4过定点B（2，4）；当直线绕点B按顺时针旋转至直线与圆相切，当直线与圆的一个交点在弧线MT之间都满足题目要求，符合题意；
而交点M在直线y=1上，因此可算出M点的坐标，即M（-2，1）；
直线BM可用点斜式法计算出来，例题1kMB=3/4，即点M到点A之间的距离等于半径；
列等式∣1+2k-4∣/√（1+k2），可解得kBT=5/12。因此，k∈（5/12，3/4]。
（二）解析几何不等式问题
运用数形结合法解决解析几何中的不等式问题主要是将原不等式化解，通常能化解为某个曲线方程，然后将曲线方程在数轴上表示，注意计算过程中值域与定义域，然后几个图形的交集就是该不等式的解集。
三、结语
基于上述可知，合理运用“数”“形”结合的方法，对于解析几何的答题速度与准确度都有着相当大的优势，其不仅能够减少运算量，还能显著节省答题时间，提高解题正确率。
高中数学考试中常用三种解题技巧
一、“构造法+函数法”的结合
而且本题还可以从另一个思路进行解答，就是运用复数模的概念，将相联系的数据和看成一个模函数，仍然可以得到所求的结果。
二、转换法
这种方法是体现学生的想象力及创新能力的方法，也是数学解题技巧中最富有挑战性的方法，能将复杂的题型辅以转换的功能，成为简单的、易被理解的题型。比如，一个正方体平面为ABCB和A1B1C1D1，在正方体的棱长D1C1和C1B1分别设置两点E和F为中点，AC与BD相交于P点，A1C1于EF相交于Q点，求证：（1）点D、B、F、B在同一平面上；（2）如果线段A1C通过平面DBFE，交点到R点，那么P、R、Q三点共线？
解题（1）：由题可知：线段EF是△D1B1C1的中位线，所以，EF与B1D1平行，在正方体AC1中，线段B1D1与BD平行，相应得出：线段EF与线段BD相平行，由此得出线段EF和BD在一个平面，所以可以求得点D、B、F、E在同一个平面。
解题（2）：假设平面A1ACC1为x，平面BDEF为y，由于Q点在平面AC，所以Q点也属于平面x，为x和y的交点，同属两个平面的点。同理可得，点P也属x、y的公共点，而R点是平面A1C与平面y的交点，所以，可以得到P、Q、R三点共线。
三、反证法
任何事物的结果有时顺着程序去思考，往往不得要领，倘若从结果向事物开始的方向或用假设的反方向去推理，反倒会“一片洞天”。数学解题技巧也是如此。首先，假设命题结论相反的答案，顺理演绎地解答，得出假设的矛盾结果，从另一侧面论证了正确答案。例如，苏教版教材必修1《函数》章节，已知函数f（x）是一项正负无限大范围内的增函数，a、b都为实数，求证：（1）假设：（a+b）≥0，则函数式表示为：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）成立；（2）求证（1）问中逆命题是否正确。
解题分析：（1）因为（a+b）≥0，移项后，可得：a≥-b，由于函数为单调递增函数，则：f（a）≥f（-b），又（a+b）≥0，移项后，可得：b≥-a，f（b）≥f（-a）；两个方程相加，得：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），由此证明完毕。
解题（2）分析思路就是由（1）中得出的结论f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），反证得出（a+b）≥0是否成立。于是，我们先假设（a+b）<0成立，那么，移项后，分别出现两个不等式函数，即：f（a） f（b） 四、逐项消除法（也可称：归纳法）
这种方法就是将数列前项与后项进行规律查找，逐项消除或归纳合并的方法去求得答案。在苏教版必修5《数列》章节中，有一道习题为：求：1/2+2/3！+3/4！+4/5！+5/6！+…+（n-1）/n！的和；
解题分析：这道习题就是按照一定的规律进行递增的集合，那么，就可以运用求和的公式，转化为：Sn=1/1-1/2+1/2+1/3+…+1/（n-2）！-1/（n-1）！+1/（n-1）！-1/n=1-（1/n）的形式进行解答，使解题的速度效率提高。
数学解题方法多种多样，熟练掌握解题技巧不但可以发掘出学生的创新思维，而且可以通过发散性思维激发起学生的学习兴趣，将数学成为万变的花筒，神奇又有趣，更好地培养高中生善于思考，细心观察，不断总结的良好习惯。既锻炼了高中生的逻辑思维能力，又练就了他们多角度、多层次地分析问题、解决问题的能力。
新课程改革强调学生不再是课程教学的工具，而是课程的主动学习者、发展者，是课程学习的主人。新课程要求教师打破以往按统一模式塑造学生的传统做法，关注每一个学生的特殊性，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，要求教师采取有效的方式或手段，把沉睡在每个学生身上的潜能唤醒起来，激活起来，这一切，为教师的发挥提供了宽广的舞台。同时新课程标准下的教师不再是单纯地传授知识，而是帮助学生吸收、选择和整理信息、知识，在课堂上，千篇 一律的死板讲授已不再为学生们所接受，代之而行的是主持和开展种种认知性学习活动，师生共同参与探讨丰富多彩的知识世界。
在新课程的背景下，数学课堂教学应使学生真正成为获取知识的主人，以学生为主体，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生良好健康的主体人格，充分培养和提高学生的自主性、能动性和创造性，因此我们的教学不应再是教师单纯地采用“满堂灌”、“一言堂”、“填鸭式”等等的不良教法模式去传授知识，而应是实施凸显学生的主体地位，充分发挥学生的主体作用，创造机会，教给学生主动学习的能力，培养学生主动进取的意识，着眼于学生的终身发展，培养激发创新潜能，以适应新课改要求的教学，只有这样，才能培养出适应当今社会发展需要的人才，这是当前新课改的理念要求，是一个值得研究的问题，现结合自己的教学实践作初步探讨。
一、创设机会主体参与，求知历程激发创新
在教学中发挥学生的主体作用，可大胆让学生参与到探究知识形成过程之中，创造机会，留给学生。让学生在求知历程中逐渐掌握学习的方法，让学生互相探究，互相讨论，不但使他们能知其然，知其所以然，而且要掌握其所以然。例如，在讲授“直线方程”内容时，由于学生已学习了“直线的倾斜角”和“斜率”的定义，先复习完定义后，我只讲直线的点斜式方程，让学生推导其它的四种直线方程形式，并把全班分成四组，每组派一个代表上台推导一种直线方程的形式，看谁快。由于有挑战，学生们热情高涨、积极地投入到对问题的探究之中，经过学生的主体参与，既使学生掌握四种直线方程形式的推导方法，对知识发生过程印象更深，又使本来的截距问题这一难点问题也解决了，而且有一个学生还推出了另一种直线方程的形式――参数式，体现了创新的思维能力，这种教法提高了学生对知识探求的兴趣，发挥了学生学习的主体作用，激发了创新的潜能。
二、引导学生勤于思考，撷取规律源自创新
创新的前提是理解，创新的理念来自勤奋的思考。我们知道，数学知识往往以概念、性质、定理或公式及其推导过程呈现出来。对性质、定理和公式少不了要进行严密的逻辑推理论证，完成这些论证需要一个思维萌动、展开、收放的过程。为此，我们首先必须让学生对推理过程充分理解。因为数学知识的获得主要依赖紧张思维活动后的理解，只有透彻的理解才能融入其认知结构。这就需要摈弃过去那种单靠教师在课堂上包办数学结论的推导过程的教法，而是要引导学生积极参与到求知的历程之中，不致使学生养成只会死记硬背结论，然后套用这些结论或机械地模仿某种模式去解题的坏习惯，而是要做到使学生去努力获取结论，撷取规律。需要引导学生勤于思考，培养创新理念，对知识和方法要多问几个为什么？如：为什么要导出这个性质？这个性质、定理或公式有什么功能？如何应用？勤于思考的表现还在干对认知过程的不断反思、回顾，对结论性质要善于总结、推广、拓展，从中获得规律，因为规律的撷取往往源自于勇于创新的精神，源自敢于打破常规的魄力。如让学生记住：
性质1：过抛物线y?2px的焦点F作一直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、2
B(x2,y2)，则y1y2??p2，x1x2?12p. 4
不能过于生硬，教师也不必将证明过程和盘托出，可先用：
思考题：过抛物线y2?2x的焦点F作一直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、
00当l的倾斜角分别为45、60时，A、B两点的纵坐标之积y1y2有何变化吗？ B(x2,y2)，
让学生们通过探究，推出结论。他们经过推算，发现y1y2都等于?1，都为定值。教师提问：这是巧合吗？那么是否不管直线l的倾斜角如何变化，总有y1y2??1吗？
把学生分成两大组，第1组把倾斜角改为???0,??；第2组把y2?2x改为y2?2px；第1组的运算结果为y1y2??1；第2组的运算结果为y1y2??p2；发现仍等于定值。再总结出性质1，学生就会记得更加牢固。
再把问题改为：过定点M(a,0)(a?0)的直线l与抛物线y2?2px(p?0)交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，问A、B两点的纵坐标之积y1y2为定值吗？让学生自由探究、再由教师启发可得到：
性质2：过定点M(a,0)(a?0)的直线l与抛物线y2?2px(p?0)交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1y2??2ap，x1x2?a2.
鼓励学生推广性质，寻求得出新的结论、性质，有学生发现x1x2?a2，即x1、a、x2成等比数列，于是顺手牵羊得到：
性质3：若过抛物线y?2px(p?0)焦点弦的两端点A、B作x轴的垂线，垂足各为2
P、Q，焦点为F，则OP、OF、OQ成等比数列.
这个性质的发现是创新理念的初步萌发，教师乘机鼓励他们发扬创新创造、总结知识规律的精神，学生们的思维一经激发，又一发而不可收，把焦点弦改为任意弦，得：
性质4：若抛物线y?2px(p?0)的任意弦AB两端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，且直线AB与x轴交于M(x3,0)，则x1、x3、x2成等比数列.
还可把抛物线的对称轴改为y轴，又可以得到：
性质5：过抛物线对称轴上的任一点M作直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、2B(x2,y2)，则弦AB的两端点横（纵）坐标之积为定值.
这些性质的推导、推广，就是创新理念的萌发、培养与激发，这需用教师善于引导学生勤于思考、品尝更丰富的知识大餐，真正使教学处于一种“授生以渔”，而不是“授生以鱼”的生动活泼的境界。
三、低起点跃多层次，高要求中促创新
心理学家认为，学生之间的差异几乎是绝对的，因而教师必须依据所教班级学生的实际情况，因材施教，在教学中采用低起点、多层次，高要求的做法，使知识的发生、发展规律
与学生的认知结构有机的结合起来，让各层次的学生主体参与，在课堂内均学有所得，智力尽量得到发展。例如，在求参数取值范围的复习中，笔者选用以下两例：
问题1：已知方程2x2?(6m?1)x?3(3m?1)?0有实根，求实数m的取值范围？ 问题2：已知方程2sin2x?(6m?1)sinx?3(3m?1)?0有实根，求实数m的取值范围？
问题1给出后，基础差的学生也能将其轻松解决，因为由?≥0极易求得m的取值范围，这给他们一种劳有所获的心理快感和精神上的奖赏。
问题2给出后，基础差的学生仍然由?≥0求得m的取值范围，则错了。这是草率之举，但不能责怪他们，教师细心帮其分析错因：由于?1≤sinx≤1，故?≥0不能确保方程的解在区间??1,1?内，即?≥0只是方程有实根的必要非充分条件！
要将参数m的取值范围求出并非举手之劳那么容易，如何让各层次的学生能主体参与，特别是让基础差的学生继续保持学习的热情、在探索该题上共同谋求发展思维能力呢？我采用如下方法：
1、低起点，助成功
让基础差的学生观察方程特点，利用求根公式试试看，一会儿，他们做出来了： 解法1：令t?sinx，则?1≤t≤1，方程可化为2t2?(6m?1)t?3(3m?1)?0， 6m?1?(6m?5)23由求根公式得t?，则由?1≤t≤1，得?1≤?3m?1或（舍去）24
3m?1≤1，
2故0≤m≤为所求m的取值范围. 3
2、多层次，益交流
上述问题2有没有其它解法呢？学生们各抒己见，课堂上涌动着一股强劲的探索热流，优生发现了：
2解法2：令t?sinx，则?1≤t≤1，方程化为2t?(6m?1)t?3(3m?1)?0，利用
一元二次方程区间根的分布规律，分方程在??1,1?上有两解或有且仅有一解这两种情况去求解.
2解法3：方程化为(9?6sinx)m?3?sinx?2sinx，∵9?6sinx?0，利用参数分
离法得
1?sinx3?sinx?2sin2xm?，观察到分子分母可分解因式，约简得m?，利用三角函39?6sinx
数有界性求解.
inx?解法4：方程可化为(sinx?1?3m)(2sinx?3)?0，∵s3inx?3m?1，，则s2
解法同上.
这表明由于学生在小组的交流中不断获益，思维向多层次迈进了。还有没有其它解法
呢？再鼓励他们寻找创新的解法。
3、高要求，促创新
由于学生的主体作用的充分发挥，极大地调动思维的积极性，有学生发现了别出心裁的创新解法――导数法，我让他上台板演解法：
3?t?2t2
解法5：令t?sinx（?1≤t≤1），则m?，对m求导得：9?6t
3?t?2t23(2t?3)21的增区间， m???0，∵?1≤t≤1，∴??1,1?为函数m?29?6t3(9?6t)'
23?1?2?1223?(?1)?2(?1)2
?，即0≤m≤为所求m的取值范则0?≤m≤39?6?139?6(?1)
围.
解法5运用导数法，求出函数的单调区间，从而求出函数的值域，这是一种创新解法，学生们通过比较，认为解法2太麻烦，得分类讨论；解法4最快捷，解法5则令人值得回味。
我顺势提出一道较难又易错的题目，让学生接受高强度的考验与挑战：
问题3：设x?[0,?]，若方程cos2x?4asinx?a?2?0有两个不同的解，求实数a的取值范围？
学生们摩拳擦掌，跃跃欲试，部分学生开始都采用求含参数二次方程根的分布问题的方法，把方程转化为函数，用分类讨论思想，考虑二次函数的图象与x轴的交点的位置关系，但对于区间端点值的取值情况，就不能准确把握了，结果出现如下错解：
2x，则方程错解： 原方程可化为2sinx?4asinx?1?a?0，令t?sin
22t2?4at?1?a?0在区间?0,1?内有一解，又令f(t)?2t?4at?1?a，即方程f(t)?0
在区间?0,1?内有一解，则：
???16a2?8(1?a)?0130a?f(0)f(1)≤，解得或≤a≤1为所求实数a的`或?25?0?a?1
取值范围.
这究竟错在哪里呢？
错因剖析：错解中有两处常见错误，首先对于t?sinx，当t??0,1?时，原方程在区间?0,??内有两个不同的解x1?arcsint,x2???arcsint，但当t?1时，原方程仅有一解x??
2；其次f(0)f(1)≤0包含下面三种情况：
1、f(0)f(1)＜0，此时方程f(t)?0在区间(0,1)内有且只有一个解；
2、f(0)?0，此时方程f(t)?0在区间?0,1?内至少有一解t?0.又必须分当①t?0或
t??0,1?；②t?0或t?1；③t?0或t??0,1?时这三种情况，原方程的解各有2、3、4个；
3、f(1)?0，此时方程f(t)?0在区间?0,1?内至少有一解t?1.同样必须分当①有一解t?1，另一解t??0,1?（此时a?
程的解各有3、1个.
综上可知a的取值必需有所取舍，错解中a的取值范围应舍弃31,t?1,)；②t?1或t??0,1?时这两种情况，原方553才正确，学生们终于明5
白了错因，而采用导数法的学生大大地避免了分类讨论的麻烦，避免前面的错误，成功率就高得多了。正确解法如下：
2解：令t?sinx(0≤t≤1)，则原方程可化为2t?4at?1?a?0， (4t?1)a?2t2?1，
2t2?12t2?14(2t2?t?1)''∵4t?1≥1，∴a?. 令f(t)?a?，则a?f(t)?. 分别24t?14t?1(4t?1)
''令f(t)＞0与f(t)＜0并结合0≤t≤1，求得f(t)的区间为??1?,1?，减区间为2??
113?1?a?f?f(1)?，则最小值，最大值，区间端点值，∵0,a?f(0)?1?minmax?225?2?
原方程有两个不同的解，且函数f(t)的图象在区间?0,1?内是连续的一段曲线，故应除去一个f(t)值对应两个t值的情况，因而a的取值范围为a?13或＜a≤1. 25
诚然，解题教学如能做到教师精讲，学生多练，而不是老师滔滔不绝地讲解，让他们主体参与，施展拳脚，发现解法，创新潜能和解题能力就会到挖掘发挥和提高。
由于教学中凸显了学生的主体地位，这种欢欣宽松、鼓励上进的教学气氛能激奋学生积极参加，从而让每一个学生多一种机会、多一份感悟、多一些信心去参与探究活动，使学生在低起点、多层次，高要求的教学氛围中，基础差的学生能获得成功，品尝成功的欢愉；而优生则赢得更多思考的时间，获得巧妙的创新解法，使不同层次的学生都能“奋力一跳，桃子摘到”，感受努力的价值，使自己真正成为学习数学的主人，而不是被“抛弃者”与“奴役者”，从而信心大增，激发了创新潜能，教学效果也就不言而喻。
四、题组训练施展拳脚，创新潜能挖掘发挥
创新的能力可通过解题来训练，在解题教学时，可设置题组进行解题训练，要改变传统的解题训练繁杂重复的做法，力求精练精讲，一题多解，多题同模；要加强解题的目的性、解法的创新性、思路的创造性，让学生在题组的解题训练中施展才华，挖掘创新能力，解题训练要有坡度和难度。如果解题训练有一个坡度，可以使学生循序渐进从易到难，完成一个小题，相当上了一个台阶，完成了最后一题，好像登上了山顶，回首俯望，小山连绵，喜悦之心，不禁而生。如果题组没有难度，学生不可能有疑，重复会令人乏味。反之，设置一定陷阱、难度，学生经过探索、推敲，把疑难解决了，既巩固了基础，又实现了从有疑到无疑的飞跃，体验到解题的劳动价值。在均值不等式公式的教学中，我设置如下题组：
221、设a、b?R，且a?b?2，分别求⑴ab；⑵a?b的取值范围. ?
2、设a、b?R，且a?b?1，分别求⑴ab?
33?11122；⑵ab?；⑶ab?22；ababab⑷ab?1的取值范围. a3b3
11≥2、ab?≥2等等，提示学生：由abab让学生施展解题的功夫，题组1容易解决，而对于题组2，学生们则往往会陷入一个可怕的陷阱：利用均值不等式公式，得ab?
于ab的取值范围为0?ab≤11，所以ab?≥2不能取得等号！应利用重要的函数4ab
f(x)?x?1111在区间?0,1?上单调递减的性质，求得⑴ab?≥4：⑵ab?≥xab4ab
111112；⑶a2b2?22≥16；⑷a3b3?33≥64. 264ab16ab
再让学生深入观察、探究题组2结论的特点，看看结论有没有带规律性的东西可以总结。通过小组开展讨论、学生发言、分组比赛、上台板演等方式，鼓励学生探求规律，推广得到：
?结论：设a、b?R，且a?b?1，??R，则(ab)??11?4?≥. ??4(ab)
设计这种题组的解题训练使学生的主体意识得到了张扬，主体作用得到了发挥，创新潜力、创造能力得到更好地挖掘培养，使学生体味到成功的愉悦。
五、新知旧知载体依托，创新理念渗透蕴涵
在引入新知识时，要根据教学目标和教学内容，与旧知识有机联系起来，寻找恰当的载体，作为施教的依托，在课堂中使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，将培养学生的创新意识和能力理念渗透其中。
如在讲授复数概念时，可讲到正是十五世纪数学家遇到在生产实际运用中，碰到一个数的平方为负数，以为出错，因为数不够用啦，才导致了一类新数――复数的产生，这本身就是一种创新理念的体现，这说明学贵有疑是学习进步的标志，也是创新的开始，宋代有一位教育家说过：“读书无疑者，须教有疑。有疑者却要无疑，到这里方是长进。”，还可以告诉学生学习复数的作用：飞机机翼的美观安全与复杂的复数方程有关！以增强对学习数学是有用的认识。
总之，在数学课堂教学中凸显学生的主体地位，发挥学生的主体作用，营造出开放的、适合主体发展需要的教学氛围，将培养学生的创新意识、能力和理念渗透在和谐、宽松、民主而又活跃的教学情景之中，激发学生的创新潜能，着眼于学生的终身发展，才能培养出具有创新理念、意识、能力的高素质人才。
一、以生为本，以学定教，确定培养学生数学能力的策略
1.以生为本，教师要把握学生的数学能力
高年级学生的数学能力已经具有一定的差别。针对不同层次的学生教师要选择不同的教学策略进行教学。因此教师首先要把握每一个学生的数学能力，以人为本，将学生放在课堂的主体地位。教师要积极转变教育观念，真正激发起学习数学的兴趣，让学生在课堂上能够展现自己优秀的一面，变“要我学”为“我要学”，教师要准确把握每一个学生的数学最近发展区，根据学生数学能力提升方法以及教学要求确定不同层次学生的教学内容，让学生在课堂上有所收获。
2.以学定教，选择适合学生数学层次的教学方法进行教学
不同层次的学生在同一堂数学课上要想都有一定的收获，教师必须根据学生的能力开展分层教学。教师课上授课的侧重点不同，其结果势必不同。教师在课堂上不但要重视学生获取知识的结果，还要重视学生完成知识的过程，让学生逐步学会数学知识的架构。如，在人教版“旋转”的教学过程中，教师针对不同层次的学生要设计不同的问题让学生能在同一堂课上都会有所收获。
二、运用多媒体课件辅助课堂教学，促进不同能力的学生数学能力提升
1.多媒体课件辅助小学数学教学，采用多种策略提升学生能力
在小学数学教学中，学生的能力培养应该放在首位。教师要创建各种教学情境让学生积极参与其中。但是小学数学教材中有些教学内容较为抽象，这就需要教师运用多媒体课件等教学辅助形式辅助课堂教学。如，在小学数学“长方体的表面积”的教学过程中，教师要根据学生已经具备的数学能力结合教学内容制作教学课件，对于学习能力低的学生，教师要让学生掌握基本的教学内容，而对于学习能力强的学生，教师可以通过多媒体课件加深训练难度，让每一种类型的学生都能在课堂上有所收获。
2.有效鼓励，强化竞争意识
在小学生学习数学的过程中，教师的鼓励能够提升学生学习数学的兴趣，而且恰当的评价会能强化学生的竞争意识。教师发现学生的优点之后，要恰当评价和鼓励，并及时将激情的话语传递出去。教师要选择不同的教学策略让学生感知教师的关怀。教师要指导学生学习的方法，让学生逐步形成自学的能力。教师应实现高效课堂，并运用多媒体课件精心选择课堂习题，让不同能力的学生都得到学法的指导。
三、培养学生自主学习意识
1.通过学问卡引导学生课前自主学习
小学数学教学中教师要想培养学生的数学能力，就必须让学生主动参与到各项教学内容的研讨过程中。传统意义上的课前预习，教师对其所做的要求并不是很大。作为小学数学教师，要通过教研组集体备课的形式研讨出每一单元每一课的重点教学内容，针对班级学生的实际情况出示适合学生课前预习的思考题让学生重点感悟、探究。学生拿到由适合本班学生的数学问题形成的学问卡进行课前预习的时候，将自己已经明白的教学内容写在学问卡上，将自己不太明白的学习内容也要标注在学问卡上。同时，在教师正式授课之前，要将学问卡提交给教师，让教师了解学生的实际学习情况。如，在五年级数学“因数和倍数”的课堂教学之前，教师根据教学目标、教学重点难点制作学问卡供学生课前思考、探究、交流，并要求学生将尚未明白的数学内容标注在学问卡上以便教师在课堂上更好地和学生进行互动。
2.合作互助，共同提升
小学生已经具备了一定的交流能力。教师在教学的时候，要关注学生的合作环节。教师要选择适合学生进行小组合作的数学题目让学生进行小组合作探究，让学生在探究中共同提高合作学习的能力。在小组的创建上，教师要根据学生的数学能力按照同组异质的原则组建合作小组，再选择数学能力强的学生担任小组长，辅助本组合作学习的组织工作。在这个基础上，教师要加强合作学习的指导，引导每一个学生都能积极行动起来，能够自主探究，积极发言，不断提升自身数学能力。总之，在小学数学教学过程中，教师要把提升学生数学能力放在首要位置，然后针对本班学生数学能力的不同选择适合学生的教学策略进行教学。教师不但要充分利用多媒体等现代教学辅助手段进行辅助教学，还可以根据学生能力利用合作小组进行教学，让学生在合作中发展，在思考中提升能力。
作者：赵功祥 工作单位：陕西省紫阳县向阳镇鸡鸣小学
一、改变传统教学模式，激发创新思维
在教授数学基础知识的同时，一定要注意教学语言的规范化，必须使用普通话和文明用语，解题步骤要正确，教学方法要灵活而艺术，让数学教学在学生愉快的体验与参与过程中共同完成。教师要加强自身修养，应该了解学生的心理特点，掌握学生的具体、特殊情况，要关心学生，这既是数学教师高尚品德的表现，又是实现成功教学所必需的，对那些其他课学习成绩优秀而数学成绩稍差的学生，要当做重点对象培养其数学能力的发展，带动全班同学努力学习数学，共同进步，有效促进小学生综合素质的全面发展。
二、实施讲与学互动，倡导主体意识
传统教育方式的基本特征是以知识的传授为核心，以教材和课堂讲授为重点，偏重于传授学科中固有的知识，实现教学资源的优化组合，对课堂教学进程实施有效的调控，使学生在特定情境中发现数学问题及其内在的规律，对概念的形成与概念之间的内在联系，进行反复演示，直至每一个学生都能理解、接受为止，从而实现对相关数学知识的进一步理解和有效应用。现代多媒体技术为创设数学教学情境提供了技术保障，利用信息技术的方便、快捷等优势，能够把常规教学手段与多媒体技术有效结合起来，使小学数学教学质量得到进一步提高。教师要做教与学的引路人，为学生自主学习做好督导工作，要积极鼓励学生积极思考，大胆实践，教师把借助现代信息技术设计好的多媒体教学课件，通过利用网络等现代多媒体教学资源的优势，可以对数学难题进行具体分析研究，启发学生积极思考，主动去探索一些生活中蕴含的数学问题，鼓励学生共同参与构建研究探讨性数学课堂，先发激发学生的学习积极性，鼓励学生进行大胆质疑。在小学数学教学实践中有意识地结合文化情境教学，对开拓学生的思维能力，更加形象化地理解数学知识有很大促进作用，能够提高学生综合素质，有效培养学生爱国主义精神，教育小学生学习不仅仅是为了考试，提高数学教学培养孩子们从小磨炼意志、树立攻克难题的决心，培养勤学苦练的顽强斗志，勇于攻克学习与生活过程中遇到的难题。教师要针对小学生的实际情况，积极探索提高学生数学能力和培养数学思维方式的有效途径，为促进学生素质教育发展奠定基础。在小学阶段进行有效的数学教学活动，结合生活实践，强化学生的数学应用意识，对小学生的综合素养形成有着至关重要的意义，对学生全面发展起着促进作用，数学教师必须以良好师德和高度责任感加强小学数学教学的有效性探索，培养小学生学会应用数学知识解决问题的兴趣。实施情境化教学，争取做到以教促学，共同参与探讨，有利于研究探索型教学模式的实施。
三、构建和谐教学气氛，培养探索精神
在小学数学课堂教学实践中，创设富有生活特色的文化情境，为小学生上好每一节数学课营造和谐教学环境，小学数学教师要针对孩子们不同的心理特点，首先要激发他们热爱数学知识的兴趣，获得快乐，同时要十分注意使用恰当的评价语言对待每一位学生。有时候一句赞誉学生的话，就像精神营养剂一样，能够激发后进生的学习信息，能够让那些好学生做到更加有信心学习，能够焕发全体学生的精神面貌;相反，在数学教学课上，有时候教师随意对学生批评一句，可能导致孩子一整天不愉快的情绪，或者使小学生产生不愿意学数学课的逆反心理，时间长有可能产生厌倦情绪。在小学数学教学过程中，教师应该积极而敏锐地发现每一位学生的自身优势和闪光点，并且及时给予正确评价和鼓励，让客观的评价语言在孩子们心灵上的燃放出强大助推力，千万不要以为是小学生，就随意批评，那样只能伤害他们的自尊心，打消积极性。而客观而恰当的评价语言不仅仅是由教师的语言表达能力决定，更为关键的是由教师的高尚职业道德和良好心理品质决定的，教师在数学教学过程中切记不能把个人的情绪掺杂到一起，千万不要有任何私心，基础教育最重要的是共同配合，协调发展，教师只有把自己的高素质渗透教育教学实践中，才能在孩子们中间树立起威信，才有利于培养小学生良好的道德修养，有效提高小学生对数学知识的应用能力。
四、结束语
小学数学教学重在培养学生的学习兴趣，在此基础上逐步强化数学应用意识，结合生活实践中的数学问题，逐步提高小学生利用数学知识解决实际问题的能力。加强小学生良好数学能力的培养，进一步实现以点带面，有效促进小学生的综合素质全面发展。开拓学生的数学视野，提高数学运用意识、观察和思维能力，让学生在生活中尝试多利用数学知识解决问题的实践，进一步激发学生的创新思维，培养浓厚学习兴趣是最重要的途径。
作者：王彩花 工作单位：内蒙古托克托县双河镇第二小学
★ 培养数学能力
★ 如何培养数学思维
★ 激发潜能励志签名
