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数学线性规划问题探究
作者简介：周亚锋（.4），男，汉族，湖北武汉市人，学生，学校：湖北省实验中学。
摘要：通过对实际生活中有关优化问题的探讨，运用线性规划知识，使问题情景数学化，特别是应用图解法有关可行解的理论，对有关优化问题的数学模型的建立和求解给出了具体方法。
关键词：线性规划；约束条件；目标函数；图解法
利用线性规划知识建立有关优化问题的数学模型，需要寻求决策变量x，在优化问题中，通常有多个决策变量，常用一组不等式来描述即约束条件。在解决最优解问题时，若用数量形式描述即目标函数。对不同的问题，其目标和条件的表现形式可以是各式各样，但在数学看来，都可以概括为：求某一函数在一定约束条件下的最大（最小）值的问题。
一、线性规划问题
1、不等式Ax+By+C>0
（1）当B>0时 y>-A/Bx-C/B表示直线Ax+By+C=0的上部分
（2）当B （3）当B=0时，当A>0时 x>-C/A表示直线x=-C/A的右方部分
当A 2、点在直线同侧还是异侧的判断
令A（x1，y1）B（x2，y2）L：Ax+By+C=0
（1）A，B在L的异侧（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C） （2）A，B在L的同侧（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0
3、不等式表示的平面区域
例如：|x|+|y|≤2 所表示的平面区域图1
|x|+|y|-2≤0
x+y-2≤0
-x-y-2≤0
x-y-2≤0
-x+y-2≤0
图1
二、建立优化问题的数学模型
下面通过实例看看如何形成约束条件和目标函数。
例：某工厂甲、乙两种产品，计划每天各种产品的生产量不少于15t，已知如表1所示。
12问应如何安排生产才能获得最大利润？
设甲、乙两种产品分别为x（t），y（t），总利润z（万元）
则有约束条件：
9x+4y≤300
4x+5y≤200
3x+10y≤300
x≥15
y≥15
目标函数为：zmax=7x+12y
概括上述问题的数学模型就是：求一组非负数x、y，使之满足上述约束条件，且使目标函数取得最大值。
三、用图解法解线性规划问题的方法
建立有关优化问题的数学模型后，下一步就需要求解问题。由于目标函数和约束条件都是线性函数，在二维情况下，可行解的.区域为直线段围成的凸多边形，于是，最优解一定在凸多边形的某个顶点处取得。
解决上述的实际问题：
约束条件：
9x+4y≤300
4x+5y≤200
3x+10y≤300
x≥15
y≥15
目标函数为：zmax=7x+12y
由上述约束条件的5个不等式来确定可行解的区域。图2中阴影部分为凸多边形，其中每个点的坐标都是线性规划问题的一个可行解。
求目标函数为：zmax=7x+12y取得最大值。
令z等于某一个常数，如z=366.69，411，417.246，428等分别做直线zmax=7x+12y，这些线都是互相平行的直线，即是目标函数的等值线。当z越来越大时，直线离开原点越来越远，最后，在满足约束条件的所有解中，使z取得最大值的解将在可行域的边界点A（20，24）处得到，即当x=20、y=24时zmax=428（万元）。
由上述可知，用图解法解决实际问题的基本思路是：画出由约束条件所确定的可行域S，然后根据目标函数的梯度方向，在可行域S中选取最优解（x，y），使所求的目标函数有最大（最小）值。
总之，数学知识不单单可用于纸上解答问题，还可以解决实际生活中很多的问题，数学对人类的帮助很大。（作者单位：湖北省实验中学）
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．
教学步骤
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
先讨论下面的问题
设，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．
作一组和平等的直线
可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．
即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
例1解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．
作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．
通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
例2解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．
解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．
作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．
这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考。
简单的线性规划问题检测试题
1.目标函数z=4x+y，将其看成直线方程时，z的几何意义是( )
A.该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线的横截距
D.该直线的纵截距的相反数
解析：选B.把z=4x+y变形为y=-4x+z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距.
2.若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x-y的最大值为( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
答案：B
3.若实数x、y满足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，则s=x+y的最大值为________.
解析：可行域如图所示，
作直线y=-x，当平移直线y=-x
至点A处时，s=x+y取得最大值，即smax=4+5=9.
答案：9
4.已知实数x、y满足y≤2xy≥-2x.x≤3
(1)求不等式组表示的平面区域的面积;
(2)若目标函数为z=x-2y，求z的最小值.
解：画出满足不等式组的可行域如图所示：
(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，-6)，
所以三角形OAB的面积为：
S△OAB=12×12×3=18.
(2)目标函数化为：y=12x-z2，画直线y=12x及其平行线，当此直线经过A时，-z2的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3-2×6=-9.
一、选择题
1.z=x-y在2x-y+1≥0x-2y-1≤0 x+y≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
A.(0,1) B.(-1，-1)
C.(1,0) D.(12，12)
解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0，y=1时，z=-1;当x=-1，y=-1时，z=0;当x=1，y=0时，z=1;当x=12，y=12时，z=0.排除A，B，D.
2.(高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0，则x+y的最大值为( )
A.9 B.157
C.1 D.715
解析：选A.画出可行域如图：
令z=x+y，可变为y=-x+z，
作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大.
由2x-y-3=0，x-y+1=0，得A(4,5)，∴zmax=4+5=9.
3.在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m=y-x的取值范围为( )
A.[1,3] B.[-3,1]
C.[-1,3] D.[-3，-1]
解析：选C.直线m=y-x的斜率k1=1≥kAB=23，且k1=1
∴直线经过C时m最小，为-1，
经过B时m最大，为3.
4.已知点P(x，y)在不等式组x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0表示的平面区域内运动，则z=x-y的取值范围是( )
A.[-2，-1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[1,2]
解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，
∵z=x-y，∴y=x-z.
由图知截距-z的范围为[-2，1]，∴z的范围为[-1,2].
5.设动点坐标(x，y)满足x-y+1x+y-4≥0，x≥3，y≥1.则x2+y2的最小值为( )
A.5 B.10
C.172 D.10
解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x=3，y=1时，x2+y2的`最小值为10.
6.(高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( ) w w w .x k b 1.c o m
A.12万元 B.20万元
C.25万元 D.27万元
解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3y.
由题意得
x≥0，y≥0，3x+y≤13，2x+3y≤18，可行域如图阴影所示.
由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3，y=4，z=5×3+3×4=27(万元).
二、填空题
7.点P(x，y)满足条件0≤x≤10≤y≤1，y-x≥12则P点坐标为________时，z=4-2x+y取最大值________.
解析：可行域如图所示，新课标第一网
当y-2x最大时，z最大，此时直线y-2x=z1，过点A(0,1)，(z1)max=1，故当点P的坐标为(0,1)时z=4-2x+y取得最大值5.
答案：(0,1) 5
8.已知点P(x，y)满足条件x≥0y≤x2x+y+k≤0(k为常数)，若x+3y的最大值为8，则k=________.
解析：作出可行域如图所示：
作直线l0∶x+3y=0，平移l0知当l0过点A时，x+3y最大，由于A点坐标为(-k3，-k3).∴-k3-k=8，从而k=-6.
答案：-6
9.(20高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a b/万吨 c/百万元
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).
解析：设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z=3x+6y.
由题意可得约束条件为12x+710y≥1.9，x+12y≤2，x≥0，y≥0.
作出可行域如图所示：
由图可知，目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin=3×1+6×2=15
答案：15
三、解答题
10.设z=2y-2x+4，式中x，y满足条件0≤x≤10≤y≤22y-x≥1，求z的最大值和最小值.
解：作出不等式组0≤x≤10≤y≤22y-x≥1的可行域(如图所示).
令t=2y-2x则z=t+4.
将t=2y-2x变形得直线l∶y=x+t2.
则其与y=x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大;当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小.
∴zmax=2×2-2×0+4=8，
zmin=2×1-2×1+4=4.
11.已知实数x、y满足约束条件x-ay-1≥02x+y≥0x≤1(a∈R)，目标函数z=x+3y只有当x=1y=0时取得最大值，求a的取值范围.
解：直线x-ay-1=0过定点(1,0)，画出区域2x+y≥0，x≤1，让直线x-ay-1=0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域.平移直线x+3y=0，观察图象知必须使直线x-ay-1=0的斜率1a>0才满足要求，故a>0.
12.某家具厂有方木料90 m3 ，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少?
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少?
(3)怎样安排生产可使所获利润最大?
解：由题意可画表格如下：
方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)
书桌(个) 0.1 2 80
书橱(个) 0.2 1 120
(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，
则0.1x≤902x≤600x∈N*x≤900x≤300x∈N*x≤300，x∈N*.
目标函数为z=80x.
所以当x=300时，zmax=80×300=24000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则
0.2y≤901y≤600y∈N*y≤450y≤600y∈N*y≤450，y∈N*.
目标函数为z=120y.
所以当y=450时，zmax=120×450=54000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则
0.1x+0.2y≤902x+y≤600x≥0，x∈Ny≥0，x∈Nx+2y≤900，2x+y≤600，x≥0，y≥0，且x∈N，y∈N.
目标函数为z= 80x+120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略).
作直线l∶80x+120y=0，即直线l∶2x+3y=0(图略).
把直线l向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x+2y=900,2x+y=600的交点时，此时z=80x+120y取得最大值.
由x+2y=9002x+y=600解得交点的坐标为(100,400).
所以当x=100，y=400时，
zmax=80×100+120×400=56000(元).
因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大.
本节课是学生对线性规划问题的图解法的复习，由于学生对代数问题等价转化为几何问题需要一个过程，因此在对教材的处理上有一定的难度.但是，通过前面的复习，学生已经理解：1、有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，因此二元一次方程的解(x,y)与直线上点的坐标之间是一一对应的；2、以二元一次不等式的解为坐标的点都在平面 直线的某一侧。而且，学生也已经掌握了用直线定界，用特殊点定域的方法画出平面区域。同时，由于在必修二中对直线方程的系统学习，学生也已经明确了Ax+By+C=0中A、B、C所表示的意义，有了将二元一次方程和二元一次不等式转化为直线和平面区域的 意识。
鉴于以上几点，在本节课中，除了要完成教育教学知识点的讲授外，在学生的能力和情感方面，我也设定了以下几个目标：
1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；在例题讲解过程中，培养学生的分析问题、解决问题的能力和探索能力。
2、让学生体验数学活动中充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神。同时，学会用运动的观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辩证关系。
针对我所教的两个班（一个实验班，一个平行班）学生所具备的数学基础知识和分析问题、解决问题的能力不同，本节课我对实验班的教学方法是以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法。而对平行班的学生，主要是教师引导，教师与学生双主体式的教学方式。在此，就实验班的教学设计作出如下说明：
1、构建问题情境，激发学生解决问题的欲望。
2、提供“观察、探索、探讨”的机会，引导学生独立思考，有效的调动学生的思维，使学生在开放的活动中获取知识。
3、利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现图解法求最优解的'过程，既加大课堂信息量，又提高教学效率。
4、指导学生做到“四会”：会疑、会议、会思、会变。在教学过程中，重视学生的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。
一节好课不但要有充分的准备、好的设计、正确的教学理念，同时教师的综合素质显得尤为重要。教学中不但要体现教师的主导作用，更应发挥学生的主体作用。在本节课的教学之前，我主要针对以下几个问题展开深入的思考：
1、课堂气氛“度”的把握？
2、如何控制学生课堂讨论的范围？
3、对优等生和后进生如何合理分组？分组后后进生的积极性又如何有效调动？
4、情境设置与问题引导怎样才能与教学实际有效结合，使得教学过程能够大体按照课前设置的去运行，使得教学效果尽量达到最优化？
5、课后练习和书面作业的布置难度的把握？
本节课在精心的准备下取得了良好的教学效果，学生的达成度也很高。这节课的成功教学使我深深的明白，作为一名教师，尤其是青年教师，我们一定要在深入研究教材的基础上，花更多的时间去研究我们的学生，挖掘他们的潜力，使他们的优点得以展示，以此来激励他们更加努力的学习。
线性规划是《运筹学》中的基本组成部分，是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最优化问题的一种数学模型，体现了数形结合的数学思想，具有很强的现实意义。也是高中数学教材的新增知识点，在近两年高考中属于必考知识。
线性规划问题，高考主要以选择填空题的形式出现，常考两种类型：一类是求目标函数的最值问题（或取值范围），另一类是考查可行域的作法。下面我们结合教材和各地高考及模拟题举例说明。
第一大类：求目标函数的最值问题，解答此类题型时，关键是要正确理解目标函数的几何意义，再数形结合求出目标函数的最值，而目标函数的几何意义是由其解析式确定的，常见的目标函数有三类。
1、截距式（目标函数为二元一次型），即，这也是最常见的类型，目标函数值的几何意义是与直线的纵截距有关。
2、距离式（目标函数为二元二次型），目标函数值的几何意义与距离有关。
3、斜率式（目标函数为分式型），目标函数值的几何意义与直线的斜率有关。
反思该节线性规划的教学，认为应注意如下几个问题
1．线性规划应用题条件，数据较多，如何梳理已知数据至关重要（以线定界，以点定面）
2．学生作图时太慢，没有使用尺规作图，找最优解时不会通过斜率比较分析。（用尺作图直观）
3．借用线性规划思想解题能力不强，某些目标函数的几何意义理解不透。（三组形式）
4．高考中对线性规划的考查常以选择、填空题的形式出现，具有小巧、灵活的特点，因此，对常见题型要重点训练。
总之，对于线性规划问题，应坚持应用数形结合的思想方法解题，作出可行域和看出目标函数的几何意义是解题关键。
早上第一节听了备课组叶老师一节《二元一次不等式及平面区域》公开课。叶老师通过数轴来表示一元一次不等式，以学生熟悉的内容引入，调动学生的学习兴趣，学生马上投入到新课的学习。接着通过画出二元一次方程x-y-6=0表示的直线方程，所有点把平面上分成三部分，在线上的，在x-y-6>0这区域内的，在x-y-6<0区域内的。然后叶老师通过方法1：取点代入法定区域，方法2：由不等号定区域这两种方法突破本节课的重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域。最后，由例题教导学生解题的步骤，再就是让学生多练。本节课的亮点有：
1、教学基本功扎实，教态自然，板书规范。
2、备课充分，教学设计适合学生的实际情况，教学思路清晰，讲解有条不紊。
3、讲练结合，及时训练，注意知识的巩固和落实。
建议：
1、找点的时候是否可以让个别学生说出几个点，相信这样学生理解更好点。
2、在解答例1时，表述画图时是否可以直接写成：作直线x-y-4=0（画成虚线）
第二节由我上了一节《简单的线性规划问题》公开课。本节课我的教学设计是通过上节课的二元一次不等式在平面直角坐标系表示成平面区域来引入，由学生板演检测学生掌握程度。在学生完成板演后，提出本节的问题：求z=2x+y的最大值，使式中的x，y满足不等式组（I）,求z=2x+y的最大值，式中的x，y只能取平面区域内值，所以，只需要由z=2x+y变形为y=-2x+z就可以把不熟悉的求解转化为一个高一曾学习过的内容：y=-2x+z就是直线方程的斜截式，让学生画出y=-2x，y=-2x+1，y=-2x+2，三条学生，观察可以知道这是一系平行线，问题转化为求z=2x+y的最大值其实就是求直线y=-2x+z过平面区域某一点时在y轴上截距最大值。我先画出直线y=-2x，通过平移可以发现直线y=-2x+z过平面区域过某一点时在y轴上截距最大。求出最大值，问题得到解决。解答完成后，接着让学生阅读教材88页，从中找出一些相关的概念。再回到解答过程，从中提炼出解答这类问题的解答步骤。最后进行一道变式训练，改变不等式组，还是求z=2x+y的最大值。
本节课完成后，个人反思如下：
亮点：
1、教学设计比较适合学生的实际情况。
2、放手让学生多动手。
改进部分：
1、没有完成备课时确定的教学任务:教学设计中还有变式2：z改为z=6x+10y，变式3：z改为z=2x-y。小结中有解题方法:图解法(数形结合)
2、教学基本功不扎实：教态不够从容，不够自信；语言不精炼，很多重复的语句，个别字普通话不标准；板书不工整，字体不漂亮，字体偏大，板书规划不合理。
3、在讲相关的概念时，这里应该节省时间，在学生阅读教材时，先板演在黑板上，让学生找出相应的内容，高效省时。
4、在新课引入时，可以点明：在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，解决这类问题就需要我们学习更多的知识，比如本节要学习的这内容就有关这方面的。再列举一个例子，这样可以立刻调动起学生的学习兴趣。
简单的线性规划问题评课稿
齐老师的课，给我感受最深的就是教学语言的准确性、严密性，无可挑剔，对学生的启发、点拨恰到好处，与学生的交流亲切自然，驾驭课堂的能力让人佩服。下面就这节课谈谈自己的体会。
1、教材简析
《简单的线性规划问题》在高中数学学习中起着承前启后、举足轻重的作用。而且在我们生活中有着重要的应用。
2、教材处理
（1）坚持以本为本的原则。
（2）把总结式教学为学生自我发现、自我总结的探究性学习。
（3）以教师的主导地位转化为学生为主体的学生探究性学习。
3、教学过程
这节课充分运用知识的迁移，调动了学生的知识积累，使学生学的轻松、愉快，同时感悟了知识的形成过程。这节课以例题引入，通过一组道应用题轻松引入，体现出数学源自于生活服务于生活，并且大大的激发了学生的学习兴趣。
在新授过程中，齐老师没有单一地把今天所要学习的内容直接出示给学生，而是把一种静态的数学知识变为一种让学生在一种大问题背景下的探索活动，使学生在一种动态的探索过程中自己发现，感受数学的思想方法，体现了科学的学习方法。整个课堂中他用朴实的语言，精准的点拨，适时的启发，大胆的放手，甚至还有一点点放纵......无不体现出追求教学实效的`精神。在这一过程中，学生不仅学得快乐，而且每个学生的个性也充分得到了发展，为学生的长远发展奠定了良好的基础。
4、总体印象
优点：
1、整体感觉是学习过程逻辑清晰，学生主体地位体现充分，学生配合好，课堂气氛活跃；
2、学生充分小老师角色非常到位，有讲有问，学生回答积极配合；
3、教师穿插点评、补充、总结、讲解，少好精；
4、整个教学过程分为四部分：基本知识、知识应用、扩展部分、总结部分。前后紧密相连，由易而难，步步推进；
5、充分体现了新课改教学理念、学生为主体原则、分作协作原则，是一个非常成功的课。
另外，本节课注重联系学生的生活实际，启用生活中的素材开展数学教学，让学生主动参与知识的建构等等方面教师都比较注重，也取得了相应的效果。
澄迈中学 高一数学
一 教学内容分析：
本节内容在教材中有着重要的地位与作用，线性规划是利用数学为工具来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定的条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益，这一部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时渗透了化归，数形结合的数学思维和解决实际问题的一种重要的解题方法——数学建模法。
二 学生学习情况分析：
把实际问题转化为线性规划问题，并结合出解答是本节的重点和难点，对许多学生来说，解数学应用题的最常见的困难是不会持实际问题转化或数学问题，即不会建模，对学生而言，解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意思，弄清各元素之间的关系；②不能弄清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立考虑单个问题情境，不能多联想。
三 设计思想：
注意学生的探究过程，让学生体验探究问题的成就感，一切以学生的探究活动为主，以问题是驱动，激发学生学习乐趣。
四 教学目标：
1、使学生了解线性规划的.意义以及约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。
2、通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力等。渗透集合，化归，数形结合的数学思想，提问“建模”和解决实际问题的能力。
五 教学重点和难点：
教学重点:求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识，即线性规划在实际生活中的应用。
教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并结合出解答。
六 教学过程：
（一）问题引入
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一会一件甲产品使用4个A配件耗时1个小时，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2小时，该厂每天最多可以配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的月生产安排是什么?由学生列出不等关系，并画出平面区域，由此引入新课。
（二）问题深入，推进新课
①引领学生自主探索引入问题中的实际问题，怎样安排才有意义？
②若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
设计意图：
由实际问题出发激发学生学习兴趣，在探究过程中，看似简单的问题，学生容易抓不住问题的主干，需要适时的引导。
（三）揭示必本质 深化认识
提出问题：
① 上述探索的问题中，Z的几何意义是什么？结合图形说明
②结合以上探究，理解什么是目标函数？线性目标函数？什么是线性规划？弄清什么是可行域解?可行域？最优解？
③你能根据以上探究总结出解决线性规划问题的一般步骤吗？
(四）应用示例
1 单纯形法
（1） 单纯形法是解线性规划问题的一个重要方法，
其原理的基本框架为：
第一步：将LP线性规划变标准型，确定一个初始可行解（顶点）。
第二步：对初始基可行解最优性判别，若最优，停止；否则转下一步。
第三步：从初始基可行解向相邻的基可行解（顶点）转换，且使目标值有所改善—目标函数值增加，重复第二和第三步直到找到最优解。
（2） 用程序进行运算前，要将目标函数及约束方程变成标准形式。
于非标准形式须作如下变换：
a) 目标函数为极小值min z=CX时，转换为max z=-CX形式；
b) 在约束方程中有 “≤”时，在加上一个松弛变量；
c) 在约束方程中有 “≥”时，采用减去一个松弛变量，再加上一个人工变量；
d) 在约束方程中有 “=”时，加上一个人工变量；
e) 所有的人工变量，松弛变量的目标函数系数置为0。
（3） 对于标准形式的线性规划问题。用单纯形法计算步骤的框图。
2 程序测试及结果：
线性规划问题如下:
max z=2*x1-3*x2+3x3;
x1+ x2 -x3<=7;
x1- x2 +x3<=-7;
x1-2*x2 +2*x3<=4;
x1,x2,x3>=0;
3 C++实现代码
// Simplex.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。/////********************************* ----------------------------------- 单纯形法求解线性规划问题（C++实现代码）----------------------------------- Author:牧之丶 Date：2014年Email:bzhou84@163.com **********************************/ #include stdafx.h#include
