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数学竞赛中的一道光学题探索
浙江省宁波市初二数学竞赛第二试第3题: 有两面可绕一立轴转动的立式镜,我站在这两面镜子前的一个点上,这个点位于镜面夹角平分面上.若两镜面的'夹角为50°,我将可以看到自己的镜像数为( ) A.10 B.8 C.6 D.4
作 者：余雪赞 张淼 作者单位：浙江省余姚市实验学校,315400 刊 名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 47(8) 分类号：O1 关键词：24道数学经典名题
1.不说话的学术报告 1910月，在美国纽约的一次数学学术会议上，请科尔教授作学术报告。他走到黑板前，没说话，用粉笔写出2^67-1，这个数是合数而不是质数。接着他又写出两组数字，用竖式连乘，两种计算结果相同。回到座位上，全体会员以暴风雨般的掌声表示祝贺。证明了2自乘67次再减去1，这个数是合数，而不是两百年一直被人怀疑的质数。有人问他论证这个问题，用了多长时间，他说：“三年内的全部星期天”。请你很快回答出他至少用了多少天？ 2.国王的重赏 传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人――大臣西萨・班・达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧？”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了。……还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的语言。算算看，国王应给象棋发明人多少粒麦子？ 3.王子的数学题 传说从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们。题目是：我有金、银两个手饰箱，箱内分别装自若干件手饰，如果把金箱中25％的手饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中20％的手饰送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金箱中拿出5件送给第三个算对这个题目的人，再从银箱中拿出4件送给第四个算对这个题目的人，最后我金箱中剩下的比分掉的多10件手饰，银箱中剩下的与分掉的比是2∶1，请问谁能算出我的金箱、银箱中原来各有多少件手饰？ 4.公主出题 古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？” 5.哥德巴赫猜想 哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现：每一个大于或等于6的偶数，都可以写成两个素数的和（简称“1＋1”）。如：10＝3＋7，16=5＋11等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导，欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证明。因为没有从理论上得到证明只是一种猜想，所以就把哥德巴赫提出的这个问题称为哥德巴赫猜想。世界上许多数学家为证明这个猜想作了很大努力，他们由“1＋4”→“1+3”到1966年我国数学家陈景润证明了“1＋2”。也就是任何一个充分大的偶数，都可表示成两个数的和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的积。你能把下面各偶数，写成两个素数的和吗？（1）100= （2）50= （3）20= 6.贝韦克的七个7 二十世纪初英国数学家贝韦克友现了一个特殊的除式问题，请你把这个特殊的除式填完整。 7.刁藩都的墓志铭 刁藩都是公元后三世纪的数学家，他的墓志铭上写到：“这里埋着刁藩都，墓碑铭告诉你，他的生命的六分之一是幸福的童年，再活了十二分之一度过了愉快的青年时代，他结了婚，可是还不曾有孩子，这样又度过了一生的七分之一；再过五年他得了儿子；不幸儿子只活了父亲寿命的一半，比父亲早死四年，刁藩都到底寿命有多长？ 8.遗嘱 传说，有一个古罗马人临死时，给怀孕的.妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3；生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢？ 9.布哈斯卡尔的算术题 公园里有甲、乙两种花，有一群蜜蜂飞来，在甲花上落下1/5，在乙花上落下1/3，如果落在两种花上的蜜蜂的差的三倍再落在花上，那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞欣赏花香，算算这里聚集了多少蜜蜂？ 10.马塔尼茨基的算术题 有一个雇主约定每年给工人12元钱和一件短衣，工人做工到7个月想要离去，只给了他5元钱和一件短衣。这件短衣值多少钱？ 11.托尔斯泰的算术题 俄国伟大的作家托尔斯泰，曾出过这样一个题：一组割草人要把二块草地的草割完。大的一块比小的一块大一倍，上午全部人都在大的一块草地割草。下午一半人仍留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人去割小草地的草，到傍晚还剩下一块，这一块由一个割草人再用一天时间刚好割完。问这组割草人共有多少人？（每个割草人的割草速度都相同） 12.涡卡诺夫斯基的算术题（一） 一只狗追赶一匹马，狗跳六次的时间，马只能跳5次，狗跳4次的距离和马跳7次的距离相同，马跑了5.5公里以后，狗开始在后面追赶，马跑多长的距离，才被狗追上？ 13.涡卡诺夫斯基的算术题（二） 有人问船长，在他领导下的有多少人，他回答说：“2/5去站岗，2/7在工作，1/4在病院，27人在船上。”问在他领导下共有多少人？ 14.数学家达兰倍尔错在哪里 传说18世纪法国有名的数学家达兰倍尔不加?#####鞯呐?砹讼旅嬲飧鲂⌒〉奈侍猓?br />拿两个五分硬币往下扔，会出现几种情况呢？情况只有三种：可能两个都是正面；可能一个是正面，一个是背面，也可能两个都是背面。因此，两个都出现正面的概率是1∶3。你想想，错在哪里？ 15.埃及金字塔 世界闻名的金字塔，是古代埃及国王们的坟墓，建筑雄伟高大，形状像个“金”字。它的底面是正方形，塔身的四面是倾斜着的等腰三角形。两千六百多年前，埃及有位国王，请来一位名子叫法列士的学者测量金字塔的高度。法列士选择一个晴朗的天气，组织测量队的人来到金字塔前。太阳光给每一个测量队的人和金字塔都投下了长长的影子。当法列士测出自己的影子等于它自己的身高时，便立即让助手测出金字塔的阴影长度（CB）。他根据塔的底边长度和塔的阴影长度，很快算出金字塔的高度。你会计算吗？ 16.一笔画问题 在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥（如右图）。当时有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？ 17.韩信点兵 传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是：让士兵先列成三列纵队（每行三人），再列成五列纵队（每行五人），最后列成七列纵队（每行七人）。他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。如果韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗？ 18.共有多少个桃子 著名美籍物理学家李政道教授来华讲学时，访问了中国科技大学，会见了少年班的部分同学。在会见时，给少年班同学出了一道题：“有五只猴子，分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家同意先去睡觉，明天再说。夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下后，正好可以分成五份，它就把自己的一份藏起来，又睡觉去了。第二只猴子爬起来也扔了一个桃子，刚好分成五份，也把自己那一份收起来了。第三、第四、第五只猴子都是这样，扔了一个也刚好可以分成五份，也把自己那一份收起来了。问一共有多少个桃子？注：这道题，小朋友们可能算不出来，如果我给增加一个条件，最后剩下1020个桃子，看谁能算出来。 19.《九章算术》里的问题 《九章算术》是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有246个题目。其中一道是这样的：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车曰行25千米，不装米的空车曰行35千米，5日往返三次，问二地相距多少千米？ 20.《张立建算经》里的问题 《张立建算经》是中国古代算书。书中有这样一题：公鸡每只值5元，母鸡每只值3元，小鸡每三只值1元。现在用100元钱买100只鸡。问这100只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 21. 《算法统宗》里的问题 《算法统宗》是中国古代数学著作之一。书里有这样一题：甲牵一只肥羊走过来问牧羊人：“你赶的这群羊大概有100只吧”，牧羊人答：“如果这群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的1/4，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只。”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？ 22.洗碗（中国古题） 有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗？她回答说：家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗65只。你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗？ 23.和尚吃馒头（中国古题） 大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个。有大小和尚100人，共吃了100个馒头。大、小和尚各几人？各吃多少馒头？ 24.百蛋（外国古题） 两个农民一共带了100只蛋到市场上去出卖。他们两人所卖得的钱是一样的。第一个人对第二个人说：“假若我有象你这么多的蛋，我可以卖得15个克利采（一种货币名称）”。第二个人说：“假若我有了你这些蛋，我只能卖得6又三分之二个克利采。”问他们俩人各有多少只蛋？六年级数学探索规律题
1.小正方形的边长是1厘米,依次排出下面这些图形.
作 者：华锡东 作者单位：江苏无锡市新区实验小学 刊 名：小学教学 英文刊名：XIAOXUE JIAOXUE 年，卷(期)： “”(4) 分类号： 关键词：五年级数学竞赛综合检测题
1、计算
（8.4×2.5+9.7）÷（1.05÷1.5+8.4÷0.28）＝
0.625×0.625×…×0.625×8×8×…×8×2×2×…×2＝
10个0.6259个88个2
2、在小数点后依次写下整数1，2，3，4，…，998，999得到小数0.1234567891011…999，其中小数点右边第个数字是（ ）。
3、A＝，B＝，那么A与B之间较小的一个数是（ ）。
4、11点20分时，时针和分分针所构成的钝角是（ ）度。
5、能同时被2、3、5、7整除的最小四位数是（ ）。
6、要使六位数15ABC6能被36整除，而所得的.商最小，那么ABC＝（ ）。
7、某个七位数1993□□□能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么，它的后三位数是（ ）。
8、在一次乒乓球比赛前，甲、乙、丙、丁四名选手预测各自的名次，甲说：“我绝对不会得最后！”乙说：“我不能得第一，也不会得最后。”丙说：“我肯定得第一。”丁说：“那我是最后一名啦。”比赛揭晓，四人没有并列名次，而且只有一名选手预测错误，（ ）预测错了。
9、某运输队为商店运输暖瓶500箱，每箱6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5.5元，损坏一个暖瓶，要赔偿成本11.5元（这只暖瓶的运费当然得不到），结果运输队共得到1553.6元。共损坏了（ ）只暖瓶。
10、有若干个苹果和梨，苹果的个数是梨的个数的3倍，如果每天吃2个梨和5个苹果，那么梨吃完时还剩20个苹果，有（ ）个梨。
11、河堤上有一排树共100棵，从左往右数，第78棵起往右都是一班种的；从右往左数，第67棵起往左都是三班种的；其余的是二班种的。二班种了（ ）棵。
12、小红上午8点多钟开始做作业时，时针与分针正好重合在一起。10点多钟做完时，时针与分针正好又重合在一起。小红做作业用了（ ）分。
13、湖中有A、B两岛，甲乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A、B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米，第二次相遇时，甲比乙少行（ ）米。
小升初数学真题3道及答案
试题一：有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制，每次操作可以拉动其中的2个开关以改变相应灯泡的亮暗状态，能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗?
解答:每个灯泡变暗需要拉动奇数次开关;则5个灯泡全部变暗一共也需要拉动奇数次开关;而每次操作是拉动2个开关;若干次操作后一共拉动的次数肯定是2的倍数，也就是偶数次;但是5个灯泡全部变暗一定需要总共拉动奇数次，所以矛盾了;所以无论经过多少次操作都不可能使5个灯泡一起变暗。
试题二：甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长.
解答：第一次相遇时，两人合走了半个圆周;第二次相遇时，两人又合走了一个圆周，所以从第一相遇到第二次相遇时乙走的路程是第一次相遇时走的2倍，所以第二次相遇时，乙一共走了100×(2+1)=300 米，两人的'总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为300-60=240 米，周长为240×2=480米.
试题三：迎春杯数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：如果我能获奖，那么乙也能获奖.乙说：如果我能获奖，那么丙也能获 奖.丙说：如果丁没获奖，那么我也不能获奖.实际上，他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是___。
解答：首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖.否则，假设丁没获奖，那么丙也没获奖，这与他们之中只有一个人没有获奖矛盾。其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也能获奖;再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得出4个人全都能获奖，不可能.因此，只有甲没有获奖。
人教版小学三年数学下册知识竞赛检测题
一、请你填一填。
1. 今年是，共有（ ）天，这个月是5月，有（ ）天。
2. 黄昏，当你面对太阳时，你的后面是（ ），左面是（ ），右面是（ ）。
3. □59÷6，如果商是三位数，□里最小可以填（ ），如果商是两位数，□里最大可以填（ ）。
4. 一列火车上午7:30从温州出发，当天下午3:30到达杭州，途中用去（ ）小时。
5.按下面的方法摆60个三角形，最后一个是（ ）色，一共有（ ）个白色三角形。
△△▲▲△▲△△▲▲△▲△△……
6. 3平方米＝（ ）平方分米 5公顷＝（ ）平方米
7. 在（ ）里填上合适的单位。
学校操场面积为9000（ ）
小华的身高142 （ ）
一块橡皮一个面的面积为6（ ）
黑板的周长为10（ ）
8. ▲＝●＋●＋●，▲＋●＝40，则●＝（ ），▲＝（ ）。
9、找规律填数： 2、 5、 11、 23、 47、 （ ）、（ ）
10、下面每个算式中等号两边的'方框里填上相同的数，使算式成立。
3×□=1□
6×□=2□
二、选一选。（把正确的序号填到括号里。）
1. 如果△是○的24倍，下面第（ ）个算式是对的。
A、△+24=○ B、△×24=○ C、○+24=△ D、○×24=△
2. 648÷8的商的个位上是（ ）。
A、8 B、1 C、9 D、0
3、在“A÷9=B…..C”算式里,其中B、C都是一位数，那么A最大是多少？（ ）
A 90 B 91 C 89 D 87
4、体育课上同学们站成一排，老师让他们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个报的数是2，这一排同学有（ ）人。
A.26 B.27 C.28
三、算一算。
1. 直接写得数。
500÷5 80×50 56＋34 2700÷9 6×700 360÷9 5600÷8 12×20 11×80 15×20 0÷23 ÷4
2. 列竖式计算。
67×42 74×39 15×68 32×26 927÷3 522÷4
四、解决问题。
1、三年级252人要乘6辆车去参观科技馆。如果每辆车的人数相同，每辆车应坐多少人？
2、在地震灾害捐款中，参加捐款的成人人数是儿童的3倍，如果在华诚超市一共有652人参加捐款，儿童有多少人？
3、学校召开家长会，请了269位家长，8人围坐一桌，至少需准备多少张桌子？
4、教室后面的墙壁，长6米，宽3米，墙上有块黑板，面积是3平方米，现在要粉刷这面墙壁，要粉刷的面积是多少？
10道六年级数学工程类训练题
1.有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间?
2.甲乙两队修一条公路。甲队每天修全长的五分之一，乙队单独修要7.5天完成。如果两队合作修了2天后，剩下的由乙队单独完成，还需要用几天?
3.一项工程，甲单独做要30天，乙单独做的时间比甲少10天。现在两人合作，最后几天乙没有参加，结果用了18天才完成任务。乙工作了多少天?休息了几天?
4.一项工程，甲队单独完成要25天，乙队的工作效率是甲的125%，如果两队合作，几天可以完成这项工程的9/10?
5.一项工程，甲、乙两人合做8天可完成。甲单独做需12天完成。现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3。这个工程实际工期为多少天?
6.甲乙二人合作一项工程，两人8天完成了工程的2/3，余下的乙单独做还要16天才能完成，问甲单独做多少天完成?
7.一个空水池上有两个进水管，单开甲管10小时可注满，单开乙管15小可注满，先开甲管，2小时再打开乙管，再过几小时可水池有3/4的`水?
8.一批货物，卡车18次可运完，大货车30次运完，用同样的3辆卡车和5辆货车，多少次可运完?
9.有一个水池，单开甲管1小时可注满，单开乙管40分钟可注满，两管同时开，10分钟之后，水池内的水有4吨，问这个水池可储水多少吨?
10.一辆货车和一辆客车从甲乙两站两站相对开出，6小两车相遇，相遇后两车用同样的速度继续前进，客车4小时到达，问货车还要行多少小时才到达?
探索法能使数学趣题更有趣
探究学习方式是当前课程改革的'主流.为了适应新课程改革的要求,我对这一教学方式作了一些初步的尝试和探讨,已经取得了可喜的成效.
作 者：刘辉忠 作者单位：广西钦州市钦北区大直镇中,广西钦州,535032 刊 名：中国科教创新导刊 英文刊名：CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD 年，卷(期)： “”(5) 分类号：G633.6 关键词：探索法 激发 兴趣《国家中长期教育改革和发展规划纲要(-)》指出:职业教育要把提高质量作为重点，明确了开展职业技能竞赛是提高教育教学质量的重要手段之一。，《广东省高等教育“创新强校工程”实施方案(试行)》(以下称《方案》)也指出:“明确应用型人才和技术技能型人才培养定位，以人才培养定位统领学校的办学模式、管理方式、专业课程改革、师资队伍建设、资源配置、评价标准等，突出人才培养优势和特色，满足我省产业转型升级对各级各类人才的需求，打造一批在全国有影响的应用型本科高校和全国领先的高职院校。”数学作为高职院校的公共基础课科目，其技能竞赛对培养高职学生的创造性思维、实践意识和解决问题的能力具有特殊的意义和良好的效果。今后，对学生进行数学技能竞赛的培训是高职院校数学公共课程的发展趋势，而建立起一套成熟有效的数学技能竞赛与常规教学的融通制度则是高职数学课程教学改革成功的关键因素。
高职数学技能竞赛与常规教学的融通制度，主要是指后者为前者提供必要的知识、技能和素质的准备，前者对后者的教育教学结果进行综合应用和实战检验，并对实施过程中存在的问题进行反馈和修正。两者相互作用，相互促进，既体现共性的培养，又重视个性的发展，形成良性互动的循环体，共同服务于高技能型人才的培养过程和培养目标。
目前，高职院校数学技能竞赛主要分为两大类。第一类是每年一届的全国大学生数学建模竞赛，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。第二类是由各省、市、自治区举办的大学生数学竞赛(高职高专组)。一般意义上的数学技能竞赛，通常是指以前者为主体的各类数学建模竞赛。
数学技能竞赛和常规教学之间的融合和互通并不是简单的堆砌和合并，而是需要有机、系统的结合，才能发挥出最大的教学效果。因此，建立和完善一套行之有效的数学技能竞赛与常规教学的融通制度，对高职院校来说具有重大的必要性和迫切性，也是高职院校实施“创新强校工程”的重要一环。
1)及时发掘和培养应用型和技术技能型的人才。
《方案》指出:“深化人才培养体制改革，实施拔尖创新人才培养计划、应用型与卓越人才培养计划，建立人才培养创新实验区。”通过组织参加数学技能竞赛的培训和比赛，高职院校不但可以及时发掘理论知识与实际操作能力相结合，兼具团队合作精神和良好心理素质的人才，并且可以在后期有针对性地进行重点培养。比起过去单纯培养学生专业知识和技能，高职院校各专业与数学教学团队在人才培养方面相得益彰，更能实现“创新强校工程”的人才培养精神。
2)促进高职数学的教学改革。
高职院校数学技能竞赛是推动高职数学教学改革的催化剂。第一，数学技能竞赛强调实践教学，注重培养学生动手操作数学软件的能力，因此高职数学教学必须突出实践性的教学环节，切实加强学生实践操作技能的训练。第二，数学技能竞赛非常注重新思维、新方法的应用，突出应用数学软件的技能性，因此高职数学教学必须注意讲授具有时代特征、先进方法和技术的新内容。第三，每年的数学技能竞赛还会集中展示一些最新的实际问题和研究方向，有助于高职数学课程把握在实践教学方面的重点和难点。
3)打造“双师型”数学教师队伍。
《方案》指出:“大力加强高等职业学校‘双师型’教师队伍建设。”对高职数学教师而言，参与指导数学技能竞赛是提高自身数学技能水平的有效途径之一，也是培养提高学生操作技能、保证教学质量的关键。教师必须领会先进的教学理念和教学方法，同时注重总结赛后经验，进行必要的课程改革与创新，将竞赛的知识、技术和思维方式融人到实践教学中，从而提高实训效能。数学技能竞赛能够有效引导高职数学教师按照“双师型”教师的标准，努力提高自身的实践教学水平，有效促进了高职院校“双师型”数学教师队伍的建设。
★ 数学竞赛方案
★ 数学竞赛试题
