20以内加、减法教材改革的初步实验研究

* 这里不管用什么方法，用数手指的方法算出正确结果的也算在内。

4.一般每小节教学之前与实验教师备一次课。第一次实验时，由于只编一部分实验教材，未能完全按照预先计划的课时进行教学；第二次实验时，完全按照预先计划的课时进行教学。

5.对实验情况的收集和研究，主要采取以下几种方法：做听课记录，阶段测试，个别查问，对比测试，专项调查，对记录、测试结果进行分析、讨论。

三 实验结果与分析

着重分析以下几个问题。

（一）关于提早出现等号、大于号、小于号

在现行通用教材中，等号是在开始教加法时出现的，大于号、小于号是在第二册教学求两个数相差多少的应用题时出现的。实验教材改在准备课中教比较两组物体多少时出现，以后结合数的认识和计算，做一些数的大小比较的练习，如7＞6，5+3＜9等。（圈里的符号要求儿童填）

从实验情况看，开始教学大于号、小于号，多数儿童能掌握，有少部分儿童不知开口朝向较大的数。学完10以内加减法，绝大多数掌握得比较好。测试结果如下：

提早出现大于号和小于号，是近来小学数学教学发展趋势之一。如苏联、民主德国在一年级认l、2时都出这两个符号，英、法两国也出得比较早。从实验情况看，提早出现这两个符号是完全可能的。因为儿童已经有了比较物体的数量多少的经验，这里只是把这种比较符号化；而这两个符号形象易懂，儿童只要记住开口朝向较大的数就不难掌握。在实验中还看到出现这两个符号有以下好处：1.在以后认数时便于用来表示比较数的大小，从而有利于弄清数的概念。2.有助于理解“相等”的概念。正如赞科夫所说，只有跟“不等”进行比较，才能掌握“相等”这个概念。3.经常利用对应关系比较实物多少和数的大小，可为以后教学求两数相差多少等应用题做较好的准备。4.出现大于号和小于号以后，可以使练习形式增加变化，有助于培养儿童思维的灵活性。例如，学完10以内加减法，出了一道思考题，3+□＜5，1985年实验班填对的达91.6％。教学时有一点值得注意，最初几节课只要让学生初步认识大于号、小于号，不要求全班一下都掌握，而要在以后的反复练习中逐步掌握。

（二）关于10以内加、减法的编排

这部分教材进行实验时，由于加强操作，把加、减法结合着教学，儿童的学习积极性高，掌握知识的质量好。实验的结果如下：

1985年实验班后来参加本校一年级各班统一测验，结果正确率和速度都是最好的。

根据实验情况初步分析，实验教材的编排有以下几点好处：

1.使儿童更清楚地理解加减基本式题之间的关系，便于利用联想算出加、减法式题的得数。现行通用教材中加、减法虽然穿插编排，但是相互联系较少，只是通过少数练习题反映它们之间的联系。实验教材从得数是4的加法和相应的减法开始，每次都把加减法对照排列，在儿童操作的基础上由用一幅图表示两个算式（如在4个白木块和2个黑木块下面出现4+2=6和2+4=6，在4个绿苹果和2个红苹果下面出现6-2=4和6-4=2），逐步过渡到用一幅图表示四个算式（如在8个白木块和1个黑木块下面出现8+1=9，1+8=9，9-1=8，9-8=1），儿童对10以内加、减法逐渐形成明确的认知结构，计算时联系数的组成和加减法的关系，能较快地算出结果。在给一幅图要求儿童看图写出两个加法算式和两个减法算式时，1984年三个实验班除了一人不清楚外，其他都明确加减法的关系，1985年实验班则全都写出正确答案。

2.加、减法结合在一起教，减少了单教加法时得数单一的练习，调动了儿童学习的积极性。同时，由于儿童在头脑中逐步形成加、减法的内在联系，以后学到得数是8、9、10的加法与相应的减法，他们自己就能把这种规律性的联系运用于新的问题之中，这样就初步培养了儿童的类化、迁移的能力。

3.由于新知识的教学相对集中，加强了联系，儿童又初步有一些类化、迁移的能力，相对地缩短了讲授时间，加强了课内练习，从而也减轻了学习负担。实验这部分教材时，虽然增加了大于号、小于号，加减混合式题以及用图画表示的应用题，而教学的课时数比现行通用教材的计划课时数还稍有减少。

（三）关于20以内进位加法和退位减法的编排

1984年实验时，进位加法按照9加几、8加几、……的顺序编排，同时出现交换加数位置的式题；退位减法结合着进位加法，每次出现相应的减法的所有情况。第二次则按照前述改革要点（4）进行实验。两次实验结果如下：

可以看出，根据1985年教实验班的教师的实际情况，教学成绩却接近1984年实验班的成绩，在计算速度方面还超过了1984年的成绩。这个班参加本校统一的期末考试，成绩也都优于其他两个普通班。

下面根据第二次实验情况，也联系第一次实验情况，着重分析第二次实验教材的特点。

1.新课的内容单一，思路单一，规律突出，儿童比较容易掌握。如9加几，都先把第二个加数分成1和几，用1和9凑成10；8加几，都先把第二个加数分成2和几，用2和8凑成10；算十几减9，在熟练9加几的基础上，都想9加几等于被减数；算十几减8，在熟练8加几的基础上，都想8加几等于被减数；……大多数儿童都能较快地学会推想方法，并达到熟练。少数儿童开始学减法有些困难，主要是在计算十几减9、减8时不会用加法逆向联想算出减法的得数；也有少数儿童虽然能用加法推想，但由于加法不熟练而想错了得数；还有个别儿童在想未知的加数时与凑十的加法混淆，如算15-9想成9+（4）=15，算16-9想成9+（5）=16，误认为想出的数比和的个位数少1。（第一次实验也有类似情况）经过及时的辅导，一方面借助逆向联想的卡片[如15-9=（ ），9+（ ）=15]教会儿童推想的方法，另一方面加强相应的进位加法的练习，儿童逐步都掌握了，以后计算就比较顺利，有的后进生进步还较快。下面列举1985年实验班的几个儿童的进步情况：

从表中看出，儿童接受新知识的快慢程度是有明显差别的。有些儿童理解和掌握新知识要经历一个较长的过程。这些儿童暂时处于落后状态，但并不都是差生。只要教师明确这一点，及时地、耐心地和有针对性地给以帮助，这个暂时困难可以逐步克服，最后还能取得较好成绩。

2.新的编排方式有助于发展儿童智力。在实验中看到，多数儿童在学8加几时能把已经掌握的凑十方法迁移到新的情况中去。教学时实验教师有意识地提问：计算9加几和计算8加几时都用凑十法，有什么不同的地方？很多儿童能正确地回答。这会促进儿童分析、比较能力的发展。教学退位减法时，运用加法推算减法的得数（如15-9，儿童要想9加几得15，因为9加6得15，所以15减9等于6）这种训练本身就是培养儿童初步推理能力的过程，而且用加算减带有逆向思维的性质，而培养逆向思维是培养思维能力的一个重要方面。前面所举的少数儿童感到困难的也正是这一点。但是儿童通过实际操作、观察演示以及借助逆向联想的卡片练习，逐渐掌握了推想的方法，后面的学习就比较顺利。这时儿童不但计算能力明显提高，类化、迁移的能力也获得发展。

3.新的编排便于逐步简缩思维过程，提高计算速度，最后形成熟练的计算技巧。开始教学9加几、8加几……的凑十方法，只是教给儿童推想的'一般步骤，儿童大都按照思考步骤来计算。经过一些练习，教师引导儿童简缩思维的中间环节。如9+3，只要想3拨过1（省略“和9凑成10，3还剩2，合起来”）得12；8+5，只要想5拨过2，得13。儿童掌握这个规律以后，计算速度有较明显的提高。再经过一定的练习，达到看见式题不假思索地很快说出得数。至于退位减法，开始按照9加几得12，8加几得13等来推想12-9、13-8等的计算结果。以后在掌握基本推想方法的基础上，对于减数较大的情况，也适当启发儿童找规律，有助于简缩思维过程。如减9所得的差比被减数的个位数都多1，等等。实验表明，这种简缩思维过程、探索规律的工作不能进行得太早，在儿童还没掌握基本推想方法时教这种简便的方法，容易造成混乱，欲速则不达。另外，注意加减法之间的联系仍然很重要。开始为了便于儿童掌握，只限一个加法算式和一个减法算式建立联系，如9+2和11-9，8+3和11-8，……随着学习的进展，逐步建立两个加法算式和两个减法算式的联系，最后还加以综合整理。这不仅使儿童进一步明确加减法的关系，而且便于儿童运用多方面联想，促进思维过程的简缩，较好地掌握20以内的进位加法和退位减法。

4.新的编排方式便于教师采用不同的推想方法。近年来有些教师由于看到部分儿童用加法逆向联想来计算20以内退位减法比较困难，改教“破十法”，或进行了实验。但是这样教学时需要改变现行通用教材的编排顺序。这次实验教材改变了编排方式，为教师采用不同的推想方法提供了方便。（有关“破十法”问题将在后面加以讨论。）

四 结论与讨论

（一）当前，数学教材改革的一项重要任务，就是如何使儿童容易理解和掌握数学基础知识，减轻学习负担，同时又促进儿童智力的发展。要完成这项任务，研究和处理好数学教材的结构具有十分重要的意义。正如美国心理学家布鲁纳所说的，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。”苏联教育家斯卡特金在《现代教学论问题》一书中也强调要确定学科的结构，以适应普通教育的目的。本实验表明，在小学数学中，即使是一年级最简单的内容也存在着研究教材结构的问题。良好的教材结构便于教师教和学生学，可以促进教学质量的提高。

（二）20以内加、减法教材的结构可以是多种多样的。但是良好的教材结构，一方面必须反映数学的基本概念和基本原理，另一方面要符合儿童的认知特点。美国G.F.格林认为，“应当成组地讲解基本式，而不要单个地讲，”它的好处是可以“减少要学习的各自独立的内容的数目，便于从结构上做出概括结论并教儿童如何应用它们。”多年实践和本实验证明这种看法是正确的。但是如何分批分组，要对具体内容进行具体分析。苏联心理学家赞科夫在论教科书的系统结构时，强调要注意教育功能的多方面性，不仅使儿童掌握数学知识和技巧，而且要促进他们的一般发展。本实验结果表明，10以内加、减法把两种运算结合起来教学，20以内进位加法和退位减法穿插编排，以后逐步加以综合整理，能使儿童较好地掌握基础知识和计算技巧，又促进他们智力的发展。

（三）本实验表明，初入学儿童学习20以内加、减法时，无论在已有的经验，领会的速度，把已学的知识迁移到新问题中的能力，识记的能力等方面，都存在很大差异。因此编写教材，确定要求和进行教学都要注意适应这一点，改变那种“一刀切”的教育思想和教学方法。在教学某一新知识时不能要求所有儿童当堂都掌握，要容许一些后进儿童经过必要的辅导和较长时间的学习实践逐步掌握。只要教学得法，暂时后进的儿童，能够逐步达到基本的教学要求，甚至能够取得较好的成绩。

（四）本实验虽然初步取得较好结果，但是教材的结构和其他方面的安排是否普遍适合各地情况，还有待进一步实验研究。其中20以内退位减法，实验表明，用加法逆向联想来算，仍是比较好的一种方法。它对于使进位加法进一步熟练，深刻理解加减法的关系，发展儿童智力，都有一定的促进作用。少数儿童开始学习会有一些困难，但只要多利用操作、直观，及时给以帮助，是能够逐步掌握的。实验教材的编排也为教师采用其他方法（如“破十法”）提供了方便。关于“破十法”，由于某些原因没有进行对比实验，仅在采用这种方法的学校进行了一些调查。初步看到，采用“破十法”，儿童比较容易理解和掌握，经过练习也能达到熟练的程度；有些儿童能够简缩思维步骤（如13-8，很快想8的补数2，加3得5）。但是也有很多是分步算的。特别是在计算两位数减法时（如61-7，72-36），有些儿童要用铅笔或手指先点着被减数的十位和减数的个位，再点着减数的个位和被减数的个位，少数儿童甚至往返几次，才算出得数，因而速度很慢。另外，采用“破十法”，削弱了加减法之间的联系，不利于培养儿童通过多种联想运用旧知识解决新问题。这个问题还有待进一步研究，并进行一些追踪调查。

实验证明，一年级上学期教材中关于加、减法简单应用题的编排顺序完全符合小学生“动作→表象→概念”的认识规律。学习开始加强学生操作比单纯直观、演示更能加深学生对加、减法运算含义的理解，加强对应用题的感性认识。但是，通过操作和图画学生对应用题的认识还是感性的和比较原始的，特别是有些图画很不容易反映出哪些是已知的数量，哪些是准备求的数量，学生往往难以判断该选用哪种运算方法。长期停留在这种水平上也不便于向较高的解题水平过渡。实验教材中增加了带图解性质的图画应用题在这方面起了很好的作用。一方面，在图画中用“?”标出哪个是要求的数量，便于学生分清哪些数量是知道的，哪个数量是要求的。另一方面，图中的一个已知数量或要求的数量具体是多少，不清楚地画出来，这样稍微提高图画应用题的抽象水平，较好地孕伏应用题的结构，并促进学生思考，正确地选择算法，独立进行计算，也减小了向有图画有文字的应用题过渡的坡度。再加上延长有图画有文字的应用题的学习时间，就为向文字应用题过渡做更好的准备。1985年秋，在教学10以内加、减法之后，出了一道求一个加数的图画应用题，正确率达94.4％；而教学20以内加、减法之后，出了一道求一个加数的文字应用题，正确率达97％。这说明教学效果是很好的。

（二）学生较好地掌握求被减数、减数的应用题以及有关两数差的比较的应用题。

这些应用题是在第二册中出现的。不仅应用题种类较多，有些还需要学生逆向思考，是比较难的。但是由于教学前增加孕伏、操作，教学时加强数量关系的分析以及联系对比，收到较好的效果。下面是部分实验结果：

*这题有一个多余条件，增加了难度。但错误大多数是选错了已知数，而不是选错了运算方法。其他各题的错误中也有一部分是选对了运算方法，但计算是错的。

实验情况表明，在教求减数和被减数的应用题时，紧密联系求剩余的应用题和加、减法运算的含义，通过图解引导学生分析清楚已知和未知的关系，就不难掌握解答的方法。因为求减数和被减数的应用题，都是求剩余的应用题的变型，不同的是已知和未知发生了变化。学生通过图解可以分清每道题里的已知数量和未知数量。图解如下：

而这两个图解所反映的数量关系，又都是前面反复出现过的，所以很容易同加、减法的含义联系起来。这样就促使学生把已学的知识迁移到新的情况中去，从而掌握了新的应用题的解答方法：从原来做的13只里，去掉剩下的7只，就是送给同学的只数；把送给同学的6只和剩下的7只合并起来，就是原来做的只数。

在实验中，对于两数（差）的比较的应用题采取同样的处理方法，也取得较好的教学效果。在这一组应用题中，把求比一个数多几的数和求比一个数少几的数的应用题作为求两数相差多少的应用题的变型。先教学求两数相差多少的应用题。首先通过操作、直观使学生理解“同样多”“×比×多”“×比×少”等概念。然后结合图解引导学生先根据已知条件确定谁比谁多，再分析出大数里包含着两部分（跟小数同样多的部分和比小数多的部分），而从大数里面去掉跟小数同样多的部分就得出比小数多多少。以后教学求比一个数多（少）几的数的应用题，采取对比的方式出现，也通过操作、直观仿照上面的思路引导学生弄清谁多谁少，谁是已知的，谁是要求的，分析出数量间的关系，然后确定解答方法。在实验中看到，教学中有意识地训练学生根据已知条件判断

所比较的两个数量的多少以及它们之间的关系（例如，“苹果比梨多5个，从这个条件你想到什么？”），对选择运算方法起着关键性的作用。由于这三种应用题的分析思路一致，学生弄清楚数量关系，能够较快地掌握解答方法，很少发生混淆的情况。

值得注意的是，反叙条件的求比一个数多（少）几的数的应用题，过去一向认为是比较难的，但是采用上述的分析思路，学生解题的正确率没有明显的降低。这进一步说明，所教的分析思路是学生容易掌握的，便于举一反三。

（三）发展了学生的思维能力

从实验中看到，解答加、减法简单应用题过程中，由于教师的启发引导，学生积极进行思考，思维能力不断地得到发展。从开始解答用图画表示的应用题到解答各种加、减法文字应用题这一过程，也是学生由形象思维向初步的抽象思维逐步发展的过程。简单应用题，从结构和数量关系上看，虽然比较简单，但是从学生解题中的思维活动来看并不简单，也运用着各种思维的方法和形式，这样就促进了学生思维的多方面发展。现在做一简要的分析。

1.开始教学用图画表示的应用题，通过问答如“告诉了什么？”“要我们求什么？”“怎样算？”等，学生先把应用题分解为三个组成部分，然后选择解题所需用的数目，再把它们联合起来进行运算，这样就初步发展了分析、综合的能力。以后按照教师要求说出“已知条件”和“问题”，进一步分析某些应用题中已知数量和未知数量间的关系，以及进行提问题、填条件的练习，使分析、综合的水平得到进一步提高。

2.在分析数量关系的基础上选择运算方法的同时，培养了学生初步的推理能力。例如，解答这样的应用题：“黄花有10朵，红花比黄花多3朵。红花有多少朵？”随着教师提出一系列的问题，学生能够根据已知条件在头脑中逐步推想：“因为红花多，所以红花可以分成两部分：跟黄花同样多的10朵和比黄花多的3朵；要求红花有多少朵，就要把10朵和3朵合并起来，所以用加法算。”有些学生逐渐能独立地表述自己的推想过程。

3.对具有同类数量关系的应用题采取相似的分析思路，而且每次都把已知数量和未知数量间的关系同加法或减法的含义联系起来，即或者归结为把已知的两个数量合并起来，或者归结为从一个已知数量里去掉一个数量。学生在理解应用题的数量关系的基础上，能把加法和减法运用到各种应用题的解答中去，初步培养了学生的迁移能力，而避免了形成死记类型硬套公式的不良习惯。

4.通过逆向思考的应用题，初步发展了学生的逆向思维。据苏联克鲁捷茨基研究，学生从正向思维能自如地转换到逆向思维，是思维能力的一个重要组成部分。通过解答逆向思考的应用题，特别是经常出现正向和反向题目的对比，可以促进双向联想的形成，发展学生思维的灵活性。实验中看到，开始教学逆向思考的应用题，有少数学生转不过来，与正向的题目混淆。例如解答求一个加数的应用题仍用加法。但是经过一段练习，逐渐掌握题里的数量关系和分析思路，并与正确的运算方法建立起联系，能顺利地解答出来。

5.通过所学的应用题的各种变式（包括缺少条件的、有多余条件的、改变已知条件的叙述顺序、改变问题的提法等），不仅加深学生对应用题的理解，而且初步发展学生思维的灵活性和创造性。例如，第二学期末出了这样一道题：“小鸡比小鸭多8只，小鸡有24只，小鸭有多少只？”已知条件的叙述顺序虽然有变化，正确率仍在 90％以上，最好的班达97.4％。

四 结论与讨论

（一）本实验研究表明，按照由易到难、由具体到抽象的原则组织教材，通过操作、直观突出应用题数量关系的分析，以及与加、减法的含义紧密联系，再有适当的教学方法相配合，一年级学生能够较好地掌握加、减法简单应用题的解答方法。当然，一年级学生的生活经验少，识字不多，阅读能力也很有限，所以出现的应用题的情节内容必须是小学生熟悉的，尽力避免出生字，句子也要简短易读，以免给学生造成语义上的障碍，影响对题意的理解。

（二）本实验研究结果表明，加、减法应用题的范围是比较合适的，按照数量关系分成三组，反映了应用题之间的内在联系。现在列表如下：

每组中画横线的应用题是原型题，同一横行的另外两道题则是原型题的变式题（逆向思考）。同20以内加、减法式题相似，分组教学这些应用题，突出了应用题间的联系和题里的数量关系，特别是经过复习和整理，在学生的头脑中对于加、减法简单应用题形成了有结构的认知系统。学生在解答应用题时比较容易地识别各组应用题的特点，分析已知数量和未知数量间的关系，并确定解答的方法。这样就克服了现行教材中分散地缺少联系地教学应用题的缺点。

应用题的分组教学与目前有些教师采用的分类型教学有很大的区别。主要有以下两点：1.不教给学生应用题的类型名称，也不要求学生判别每种应用题是什么类型。学生虽然并不知道每种应用题叫什么，但是由于在学习中形成了有结构的认知系统，对于应用题之间的联系和区别比较清楚。这可以从学生自编应用题中明显地反映出来。2.不教给学生有关每种应用题的解法公式，而加强审题、分析应用题的数量关系，并且与加、减法的含义紧密联系。这样就初步培养了学生灵活的解题能力，防止养成死记类型硬套公式的不良习惯。

（三）本实验研究表明，加、减法简单应用题具有良好的教材结构，再配合适当的教学方法，对学生思维的发展可以起很大的促进作用。在培养解题能力发展思维的时候有两点值得注意：1.必须符合一年级学生思维的特点和认知规律，才能收到好的教学效果。在实验中由于加强了操作、直观，给学生积累较多的感性经验，开始多借助表象，以后逐渐能够运用抽象思维进行分析、推理，掌握正确的解答应用题的方法。因此在应用题教学中发展思维要经历一个较长的过程，不能一蹴而就。为此，教学时要尽量分散练习，避免集中在几节课进行。2.在解应用题时学生在理解题意、分析

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（四）本实验研究虽然取得较好结果，但是在更大的范围是否普遍适合，还有待进一步实验研究。另外，在实验教材的组织、编排上也还有不足之处：1.第二学期应用题的教学与100以内加、减法的教学如何配合得更好，不使难点集中，还有待进一步研究。2.提问题、填条件、自编应用题等练习如何循序渐进，也有待改进。