今天小编就给大家整理了高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文（共含13篇），希望对大家的工作和学习有所帮助，欢迎阅读!同时，但愿您也能像本文投稿人“BIKBO”一样，积极向本站投稿分享好文章。
高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文
1引言
人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．
高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．
2线性相关在中学数学解题中的.应用
初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．
2.1求代数式的取值范围
初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．
运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．
2.2解决某些二元不定方程
例3利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若
购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？
答:甲乙丙各购1件，共需105元．
3行列式在中学数学解题中的应用
中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．
3.1应用于因式分解
从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．
4矩阵应用于数列问题
利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．
在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．
5柯西施瓦兹不等式在解中学不等式中的应用
从上例可知，使用柯西―施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．
6结束语
高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．
浅谈方程思想在中学数学解题中的应用
方程思想是一种重要的教学思想,方程思想时解决实际数学问题,尤其是综合题型,非常有用.本文将从什么是方程思想,如何运用方程思想解题,学生利用方程进行问题解决的能力培养三个方面对方程思想进行探讨.运用方程思想解决实际问题是从现实生活到数学的一种提炼过程,其解题过程并不是一种简单的.形式化的过程,抓住等量关系,将题目中的等量关系用含有未知数的式子表示出来,是方程思想的一种体现.
作 者：郑瑶 作者单位：哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江・哈尔滨,150025 刊 名：科教导刊 英文刊名：THE GUIDE OF SCIENCE & EDUCATION 年，卷(期)： “”(3) 分类号：G633.6 关键词：方程思想 等量关系 问题解决高等代数在抽象代数中的应用
高等代数为抽象代数教学提供了很多模型和例子，本文从变换、等价关系、群、环、域、零因子和环上的运算规律等方面具体阐述如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.
摘 要：高等代数是数学专业一门重要的基础课程，为学生学习抽象代数提供了必要的基础[1-4].抽象代数是数学专业的必修课程，是对高等代数中出现的数域、多项式等概念进一步抽象概括，是高等代数的继续和高度抽象化[5-8].因此，高等代数为抽象代数提供了很多具体的模型.
关键词：抽象代数;高等代数;数学专业
高等代数和抽象代数联系紧密，但鲜有学生能领悟到它们之间的关系.学生普遍认为，高等代数比较容易接受和理解，抽象代数难以理解[9-13].作为一名教师，要利用学生熟知的高等代数知识引入定义或设为例子，使学生接受“抽象代数知识来源于熟悉的模型”这一观念.本文将从以下知识点入手，探讨如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.
1 “变换”概念的巩固
一个集合A到A的映射称为A上的一个变换.教材[8]首先给出变换的定义，随之给出3个简单例子，学生基本上能掌握这个概念.但是教材[8]中没有适合学生做的课后习题，为了巩固学生所学的知识，可布置这样一道课后习题：高等代数书[4]中也有“变换”和“线性变换”这两个概念，请同学们分析[4]中的变换和这里的变换有什么关系.到下次上课前，先帮助学生温习变换的概念，再检查其课后作业，最后总结：高等代数中所提到的变换是某个线性空间到自身的映射，线性变换是线性空间上的变换并保线性性，而抽象代数中的变换是指任何集合到自身的映射.
2 “等价关系”概念的引入
等价关系是集合A上的一个关系，并满足自反性，对称性和传递性.在教材[8]中，作者先给出关系的概念和一个关系(不是等价关系)的例子，再直接给出等价关系的概念.如果引入不当，学生比较难以接受等价关系这一概念.事实上，等价关系的例子在高等代数书中很多，可信手拈来.因此，可以提前布置学生去复习高等代数中的矩阵“合同”和“相似”等概念，看这些概念具有什么共性.在讲述“等价关系”之前，先给出实数集R上的n×n阶矩阵集合Mn(R)，并分别给出该集合上的“合同”和“相似”等关系，引导学生发现它们不仅是Mn(R)上的关系，并且都具有自反性、对称性和传递性，然后自然地引出“等价关系”的.概念.学生恍然大悟：原来等价关系并不陌生，在高等代数中已经接触过.如果要进一步巩固该内容，还可以引导学生分析Mn(R)上的矩阵秩相同关系，整数集Z上的模4同余关系等，让学生自己发现来自于高等代数的某些例子也是等价关系.
3 群、环和域概念的处理
在教材[8]中，作者给出群的第一定义和第二定义，并证明了这两个定义的等价性.课堂上先给出第一定义，并引导学生理解Ζ关于普通加法，非零整数集合关于普通乘法按照第一定义都是群，接着由第一定义推导出第二定义，由第二定义又推导出第三定义：一个非空集合G，对于其上的一个运算满足封闭性，满足结合律，存在一个单位元，每个元素都有逆元，则G关于该运算是群，由第三定义推导出第一定义，这样即证明了三个定义的等价性，并将重点放在第三定义.有了第三定义后，提问：Mn(R)关于矩阵加法是群吗?Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法是群吗?同时，让学生翻阅教材[4]中关于矩阵加法和矩阵乘法的定义及性质，学生会发现：Mn(R)关于矩阵加法满足封闭性与结合律，零矩阵是单位元，每个矩阵的逆元是其负矩阵，因此Mn(R)关于矩阵加法是群;Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法也构成群.进一步，引导学生发现：矩阵加法满足交换律，因此Mn(R)关于矩阵加法是交换群;而矩阵乘法不满足交换律，因此Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法不是交换群.接着，再告诉学生：高等代数中还有很多群的例子，请同学们把这些例子全部找出来.学生通过总结，找出了一元实系数多项式集合R[x]关于多项式加法是群、实数集R上的n维行(列)向量的全体关于向量加法构成群等.
可类似地处理环和域概念的讲解与巩固，这样不仅促使学生去复习高等代数知识，让学生深刻领悟到：群、环和域等概念是对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵和线性空间等概念的进一步抽象概括，也让学生逐渐意识到抽象代数并不是那么抽象，抽象代数的模型是现实中有例可循的，更增强了学生的学习兴趣和学习积极性.
4 零因子
零因子对学生来说是个全新的概念，教材[8]中先给出了整数模n的剩余类环Zn的例子：当n是合数时，存在两个不是零元的元素相乘却是零元，接着给出了零因子的概念：在一个环里，a≠0， b≠0，但ab=0，则称a是这个环的一个左零因子，b是一个右零因子，若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称其为零因子，最后还举了一个比较抽象的例子和一个比较泛的矩阵环的例子.虽然Zn在抽象代数中经常出现，但是毕竟该环是通过模n取余运算构成的环，该运算跟学生以前学过的运算有很大的区别，对学生来说仍具有一定的抽象性，而书上列举的矩阵环的例子只说该环有零因子，并没有列举具体的零因子.如果完全按教材的编排按部就班地讲解，学生很容易忘记.这时，不妨引导学生回想：Mn(R)中两个非零的矩阵相乘会是零矩阵吗?大部分学生知道这是可能发生的，但是还有少数学生可能忘记相应的高等代数知识了，这时给出如下例子.
通过该例告诉学生A是环S的左零因子而B是环S的右零因子，这样学生基本上知道零因子这个概念了.接着，再提问：“一个环上的左(右)零因子是零元吗?一个环内的左零因子一定是右零因子吗?一个环内的右零因子一定是左零因子吗?”可继续利用例1，让学生在环S里面找个矩阵C使得BC=02×2，学生通过简单的计算发现C必须为零矩阵，所以B是环S的右零因子但不是环S的左零因子，也就是说一个环内的右零因子并不一定是左零因子，反之，一个环内的左零因子并不一定是右零因子，再进一步强调一个环上的左(右)零因子一定不是零元. 通过例1的讲解，学生对零因子已经不陌生了，这时采用启发式教学，引导学生去解答：一个环里面哪些元可能是零因子，哪些元一定不是零因子.先给出如下例子.
微积分在高中物理解题中的应用
微积分在现行高中数学新教材中已出现,部分省市高考教学卷中也开始占有一定考分比例,现已逐步向全国推广.目的是与高校的<高等数学>相衔接,是教材改革中吐故纳新的体现.本文仅从高中物理教学的`角度出发,阐述微积分在物理解题中的简单应用.
作 者：陈红艳 作者单位：湖南省张家界市第一中学 刊 名：教育界 英文刊名：JIAOYUJIE 年，卷(期)： “”(7) 分类号： 关键词：微积分 高中物理解题与应用方程组在解计算题中的应用
为什么要讨论方程组在解物理计算题中应用这一问题呢？主要是考虑到与高中解题思路的衔接问题，在高中物理中强调的是对物理过程的分析和描述，而描述物理过程的数学工具就是用物理公式建立相关的方程，一个比较复杂的物理过程，往往需要建立好几个方程才能奏效.另外因不少学生在拿到一道计算题时他的着眼点往往不是根据题给条件，去考虑如何用所学的物理原理去分析“条件”、用物理公式去描述这个“条件”，而把注意力放在了所要求的结果上去了，其实当你把物理条件用物理公式正确地表述出来之后，其结果自然会水到渠成得出的.再者在使用方程组解题时，要用到多个未知量，我们的学生会耽心怎样把这些未量一一消掉，当然数学基础不太好的同学，对方程组的解会有一定的困难，对此应加强这方面的训练.本文想通过一个典型例题来说明这一观点.例题.用密度是ρ甲=4w103kg/m3的材料制成的空心球甲和用密度ρ乙=8w103kg/m3的材料制成的空心球乙，两球的质量相等，乙球恰好在水中悬浮.
（1）若把甲球置于足够多的水中时，求甲球露出水面的体积和甲球总体积之比.
（2）在甲球的空心处有的适量酒精，使甲球也可在水中悬浮，求酒精的体积和空心部分体积之比（ρ酒精=0.8w103kg/m3）.
分析：基于利用方程组的解题思路，我们先假设甲球的体积为V甲，乙球的体积为V乙，两球的空心部分的体积均为Vo，水的密度为ρ水=1.0w103kg/m3，甲球放入水中后排开水的体积为V排，甲球里面酒精的体积为V酒精.
接下来的思路是如何根据题给条件利用相应的物理原理列方程了：
（1）根据两球的质量相等的条件有：ρ甲（V甲-Vo）=ρ乙（V乙-Vo）-----（1） （2）根据乙球恰好在水中悬浮的条件有，由重力等于浮力得：ρ乙（V乙-Vo）g=ρ水V乙g----------（2）
（3）将甲球放入水中后因它是处于悬浮状态，所以它的重力也等于所受到的浮力， 于是有：
ρ甲（V甲-Vo）g=ρ水V排g---------（3）
（4）甲露出水水面的体积和甲的总体积之比等于：（V甲-V排）/V甲-----------（4）
由上可见为了解答第一小题，列出了3个方程（第四式是本小题要求的结论），涉及到V甲、Vo、V乙和V排等共四个未知量，解起方程来也是挺复杂的.那么为什么要这样做呢？原因是只有这样才符合物理学的.思维方法，所谓物理学的思维方法是每一物理现象都符合一定的物理规律，即符合某一物理定律，我们中学里学物理的任务是用学过的物理原理去描述物理现象，将来如果是研究物理的话，就要倒过来：根据你所发现的新的物理现象，去总结规律了.何况进入高中后，解物理题时一般都采用这种方法，如果能在初中就加强这方面的训练，对未来高中学习物理打下一个良好的基础，也是初高中物理教学衔接的一个方面.
当你把物理题中给出的条件一一用物理公式把它表达出----即把它“翻译”成数学方程时，其实你就基本上完成了出题者交给你的任为了.接下来的问题是如何解数学方程的事情了.这样的解题方法，只要题目没有出错，列出未知数再多，都可以在解题的过程中被一一消去，达到成功的彼岸：
（1）将甲、乙的密度代入1式，得V乙=（V甲+Vo）/2.
（2）将乙和水的密度代入2式得：8（V乙-Vo）=V乙从而得：7V乙=8Vo,再把（1）中得到的V乙代入左式，又有：
7V甲+7Vo=16Vo →Vo=7V甲/9
（3）把Vo=7V甲/9代入方程（3）得V排=4（V甲-7V甲/9)=8V甲/9,这样一来最终结果为：
（V甲-V排）/V甲=（V甲-8V甲/9）/V甲=1/9
对于第二小题，只要根据甲球的空心部分加了酒精后能悬浮在水中，甲球和酒精的总重量等于它们所受的浮力就可搞定：
ρ甲（V甲-Vog）+ρ酒V酒g =ρ水V甲g---------（4）
最终得V酒/Vo=5/28
看了上述分析和解题方法，不知你有什么想法和问题都可以发e-mail来进行交流.
方程组在解计算题中的应用
为什么要讨论方程组在解物理计算题中应用这一问题呢？主要是考虑到与高中解题思路的衔接问题，在高中物理中强调的是对物理过程的分析和描述，而描述物理过程的数学工具就是用物理公式建立相关的方程，一个比较复杂的物理过程，往往需要建立好几个方程才能奏效.另外因不少学生在拿到一道计算题时他的着眼点往往不是根据题给条件，去考虑如何用所学的物理原理去分析“条件”、用物理公式去描述这个“条件”，而把注意力放在了所要求的结果上去了，其实当你把物理条件用物理公式正确地表述出来之后，其结果自然会水到渠成得出的.再者在使用方程组解题时，要用到多个未知量，我们的学生会耽心怎样把这些未量一一消掉，当然数学基础不太好的同学，对方程组的解会有一定的困难，对此应加强这方面的训练.本文想通过一个典型例题来说明这一观点.例题.用密度是ρ甲=4w103kg/m3的材料制成的空心球甲和用密度ρ乙=8w103kg/m3的材料制成的空心球乙，两球的质量相等，乙球恰好在水中悬浮.
（1）若把甲球置于足够多的水中时，求甲球露出水面的体积和甲球总体积之比.
（2）在甲球的空心处有的适量酒精，使甲球也可在水中悬浮，求酒精的体积和空心部分体积之比（ρ酒精=0.8w103kg/m3）.
分析：基于利用方程组的.解题思路，我们先假设甲球的体积为V甲，乙球的体积为V乙，两球的空心部分的体积均为Vo，水的密度为ρ水=1.0w103kg/m3，甲球放入水中后排开水的体积为V排，甲球里面酒精的体积为V酒精.
接下来的思路是如何根据题给条件利用相应的物理原理列方程了：
（1）根据两球的质量相等的条件有：ρ甲（V甲-Vo）=ρ乙（V乙-Vo）-----（1） （2）根据乙球恰好在水中悬浮的条件有，由重力等于浮力得：ρ乙（V乙-Vo）g=ρ水V乙g----------（2）
（3）将甲球放入水中后因它是处于悬浮状态，所以它的重力也等于所受到的浮力， 于是有：
ρ甲（V甲-Vo）g=ρ水V排g---------（3）
（4）甲露出水水面的体积和甲的总体积之比等于：（V甲-V排）/V甲-----------（4）
由上可见为了解答第一小题，列出了3个方程（第四式是本小题要求的结论），涉及到V甲、Vo、V乙和V排等共四个未知量，解起方程来也是挺复杂的.那么为什么要这样做呢？原因是只有这样才符合物理学的思维方法，所谓物理学的思维方法是每一物理现象都符合一定的物理规律，即符合某一物理定律，我们中学里学物理的任务是用学过的物理原理去描述物理现象，将来如果是研究物理的话，就要倒过来：根据你所发现的新的物理现象，去总结规律了.何况进入高中后，解物理题时一般都采用这种方法，如果能在初中就加强这方面的训练，对未来高中学习物理打下一个良好的基础，也是初高中物理教学衔接的一个方面.
当你把物理题中给出的条件一一用物理公式把它表达出----即把它“翻译”成数学方程时，其实你就基本上完成了出题者交给你的任为了.接下来的问题是如何解数学方程的事情了.这样的解题方法，只要题目没有出错，列出未知数再多，都可以在解题的过程中被一一消去，达到成功的彼岸：
（1）将甲、乙的密度代入1式，得V乙=（V甲+Vo）/2.
（2）将乙和水的密度代入2式得：8（V乙-Vo）=V乙从而得：7V乙
[1] [2]
元认知在物理解题中的应用
现代研究表明,物理解题过程包含高层次的元认知过程.代表思维深层结构的元认知,它的差异是形成物理解题能力差异的根本原因,它对解决物理问题起着关键的作用.文章在波利亚、梅森、舍费尔德对解题的.研究基础上提出应从认知科学的高度--元认知来分析,帮助学生物理解题能力的提高.
作 者：李黄川 郑修林 汪子俊 梁晓梅 LI Huang-chuan ZHENG Xiu-lin WANG Zi-jun LIANG Xiao-nei 作者单位：重庆师范大学,物理学与信息技术学院,重庆,400047 刊 名：沈阳师范大学学报（自然科学版） ISTIC英文刊名：JOURNAL OF SHENYANG NORMAL UNIVERSITY (NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 24(2) 分类号：N41 关键词：元认知 物理解题 应用图象法在物理解题中的应用论文
摘要：本文阐述了物理图象中斜率、截距、交点、面积、临界点所表达的物理意义，分析如何利用图象来解决相应的物理问题。总结了利用图象解题的特点，使我们对许多问题的物理本质加深理解。
关键词：图象；斜率；面积；截距
物理图像是形象描述物理过程和物理规律的有力工具，也是解决物理问题的一种手段，利用物理图像解决物理问题，其优点一是能形象直观地表达许多物理过程和规律，形象反映两个物理量间的依存关系、变化规律；二是利用图像分析物理问题，思路清晰，分析过程巧妙，灵活。
高中物理学习中也涉及大量的图象问题，从力学到热学、电学、原子物理学等，涵盖面相当广泛。运用图象的能力要求归纳起来，主要包含以下三点：（1）读图：即从给出的图象中读出有用的信息来补足题设中的条件解题；（2）用图：利用特定的图象如%n-t图、U-I图P-V图等来方便、快捷地解题；（3）作图：通过作辅助图帮助理清物理线索来解题。这三点对学生思维的能力要求层层提高。
下面先看一道利用图象方便解题的例子。
例1： 如图1所示，某物体从斜面A点由静止开始下滑，第一次经过光滑斜面AB滑到底端所用时间为t1，第二次经光滑斜面ACD滑下，滑到底端所用时间为t2，已知AC+CD=AB，且不计物体在C点损失的能量，则两段时间相比t1____t2(填“＜”“＞”或“＝”)
解析：本题从运动学考虑，物体在斜面AB上做匀加速运动，设其加速度为a，物体在斜面ACD运动时，AC段的加速度大于a。取AB上的一点E，如图2，使AE=AC，当然也有EB=CD。那么由可知，再由 知，由机械能守恒定律可知，再由%n=知%nCD＞%nEB。最后由s=%n・t得出从而得出。
上述分析是很复杂的，其过程显得繁琐，而利用图象解题则简洁明了。只要根据AC+CD=AB和其它相关的关系画出如图 图像（这里的 理解为速率）如图3所示的两条 图线与横轴围成的面积应相等，那么从图中可以看出：
上例中图象解题简明、快捷的特点显而易见，可是学生却常常不能很好地运用图象。原因是很多学生没有抓住图象的要素，就图论图，对图象的认识停留在浅表的层次上，难免觉得图象方法变化多端，比较抽象，自然也就谈不上灵活应用了。
图象虽然看似复杂，其实，只要抓住斜率、截距、交点、面积、临界点这几个要点，即可达到既加深理解图象的物理意义、又直观方便解题的目的。
一、理解斜率的物理意义
物理学习中大量涉及的图象是%n-t图，它变化很多，在此首先要搞清的就是%n-t图中的曲线上某点的切线的斜率所代表的是该点的加速度。
例2：在倾角为%a的长斜面上有一带帆的滑块从静止开始沿斜面下滑，滑块的质量为m，它与斜面间的动摩擦因数为%e，帆受到的空气阻力与滑块下滑速度的大小成正比，即f=kv。滑块从静止开始
下滑的速度――时间图象如图所示，图中斜直线
是t=0时速度图线的切线，若已知m=2.0kg，%a=30埃g=10m/s2，由此求出%e和k的值。
分析：本题最关键之处是读出图中两个隐含条件：由图线开始处的速度图线的切线的斜率得到t=0时的加速度a0= 3m/s2， 再由图中读出物体运动的最终速度%nm =2m/s。由滑块受力分析，即可得a=（mgsin%a-%emgcos%a-kv）/ m， 当a=0时，得到滑块下滑的最大速度%nm = （mgsin%a-%emgcos%a ）/ k 。把a0和%nm的值代入前面两式即可求得%e=7.5和k=3Ns/m。
例3：如右上图，A物体放在粗糙水平面上，用绳和B物体连结在一起。用水平力F作用在A上向左拉动A，使B竖直向上匀速运动，判断力F的大小如何变化。
分析：对物体A进行受力分析如右中图，因为物体B是匀速的，所以T大小不变，且两物沿绳方向速度相等，%nA=%nB/cos%a，%a是在减小的，所以%nA也是减小的，物A做减速运动。Tcos%a+%e(G-Tsin%a)-F=ma，得F=Tcos%a+%e(G-Tsin%a)-ma，式中Tcos%a、%e(G-Tsin%a)这两项都是增大的，关键是判断a究竟是增大还是减少的，但这超出了初等数学的范围。此时可以利用图象加以判断。据%nA=%nB/cos%a，当从90啊?暗墓程中，%nA单调减小，且%nA→%nB，作出%n-t图象如右图，由图中曲线切线的斜率可以看出，a是单调减小的，由此得到F是逐渐增大的。
学生常常想不到何时可用%n-t图象，象上题这类F→a→△v的问题，当无法用初等数学解决，且题目本身又并不追究具体的数值，仅作出变化趋势的判断，那就不妨尝试一下图象解法，或许就会柳暗花明了。
二、抓住截距的隐含条件
图象中图线与纵、横轴的截距是另一个值得关注的地方。
例4：在测电池的电动势和内电阻的实验中，根据得出的一组数据作出U―I图像，如图所示，由图像得出电池的电动势%^=V，内电阻r =%R。
分析：电源的U-I图象是经常碰到的，从图线与纵轴的截距容易得出电动势%^=1.5V，学生在这里常犯的错误是把图线与横轴的截距0.6A当作短路电路，而得出r=%^/I短=2.5%R的错误结论，原因就是在初始学习时（题目的纵、横坐标起点均为0）对截距的.物理意义不求甚解（此时纵轴截距为外电路电流为零时的端电压，即电动势，横轴截距为端电压为零时的电流，即短路电流），而单纯的机械记忆造成的。
本题还可在截距上进一步变化，使横坐标的起点也不是从零开始，这时就连电动势也不能简单的从图线与纵轴的截距上读出了，而要根据纵、横截距的物理意义代入方程进行计算了。如果没有对图线的截距所代表的物理意义分析透彻，是无法得到正确的结论的。
三、挖掘交点的潜在含意
图象中的交点往往又是一个重要的条件，需要我们多加关注。
例5：现有一只标有“6V、1W”的小灯泡，用伏安法测得一组数据后作出了小灯泡的U-I特性曲线如右上图，若将此灯泡与R=9%R的定值电阻串联后，接在一个电动势为%^=6V、r=1%R的电源上，此时灯泡的实际功率是多少瓦？
分析：从灯泡的U-I特性曲线可以看出，灯泡作为一个实际的用电器，其电阻是随着电流的增大而增大的，所以在不同的电压下其电阻是不一样的，不能简单地用串、并联中电压分配的规律来求出功率。把定值电阻R=9%R并入电源，相当于电源的内阻r$Q=10%R，根据端压公式U=%^-Ir$Q，在图中作出电源的端压U=%^-Ir$Q与电流关系的U-I图线（如右图），其与灯泡的U-I特性曲线的交点C所对应的纵、横坐标即代表该电源与该灯泡连接时灯泡连端实际的电压U和电流I，根据功率的公式P=UI，即可得灯泡的实际功率。
四、明确面积的物理意义
利用图象的面积所代表的物理意义解题，往往带有一定的综合性，常和斜率的物理意义结合起来，其中%n-t图象中图线下的面积代表质点运动的位移是最基本也是运用得最多的。
例6：如图，一颗子弹以较大的速度水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块，设木块对子弹的阻力不随速度而变，则当子弹水平速度增大为时，问：
（1）子弹穿过木块的时间如何变化？
（2）木块获得的速度大小如何变化？
分析：细想起来，当子弹的速度大小发生变化的时候，其穿越木块的时间、速度的改变量、木块获得的速度等等都会跟着改变，似乎显得颇为复杂。但如果抓住了在这些复杂的变化中的不变量――子弹和木块之间的相对位移，即木块的厚度，并利用%n-t图象，事情就一下子变得简单了。
作出子弹和木块的%n-t图，为图中的%n0a和0b，子弹穿出木块所对应的时间t1，图中梯形%n0at10的面积代表子弹的位移，△0bt1的面积代表木块的位移，则梯形%n0ab0的面积代表子弹和木块之间的相对位移。当子弹的速度增加时，因为相互作用力不变，作出的%n-t为图中的%n*0 c和0d，为保证梯形%n*0cd0的面积（即子弹和木块之间的相对位移）和梯形%n0ab0的面积相等，则必然t2＜t1，木块的速度%nd＜%nb。
利用类比的方法，搞清不同图象中线下面积所代表的物理意义，可以解决更多的问题。
五、在图中表达临界条件
例7：某人在日落后4小时看到一颗人造卫星恰在头顶上，求该人造卫星的周期.(已知地球半径为R，质量为M)
分析:本题如能抓住“恰在头顶”这几个字，把物理情景在图中表达出来(如右图)，则可知道经过4小时，该观察者随地球自转从图中A位置转到图中A/的位置，转过的角度%a=60啊K以判断出卫星离地心的距离r=2R，由即可得出周期T的结果.该题经过作图，各物理量关系一目了然，胜过许多文字表达。
通过以上讨论可以看到，图象的内涵丰富，综合性比较强，而表达却非常简明，是物理学习中数、形、意的完美统一，体现着对物理问题的深刻理解。给学生的不仅
仅是一种解题方法，也是一个感悟物理简洁美的过程。但并非所有的问题都可用图象解题。如热学玻璃管中被液滴分割的两部分气柱，当温度变化时气柱向什么方向移动的问题，虽然很多书中都提到了用p-T图象解题的方法，但我认为，此类问题采取假设液滴不动的方法，利用查理定律的变形△p=(△T*p)/T，完全可以收一网打尽之功效，用图象解题反而徒增了理解上的难度，显得累赘了。
希望通过本文帮助同学克服对图象解题的神秘感和恐惧心，善于应用图中条件，乐于尝试用图象来解题，加深对物理问题本质的理解，在实践中不断提高自己运用图象解决问题的能力。
参考文献：
[1]傅道春,齐晓东.新课程中教学技能的变化[M].首都师范大学出版社.
[2]陶祖武.关于科学探究学习中关键问题的解答[J].浙江省富阳市教育局教研组.
[3]物理学习辅导[M].,(3).
浅谈联想思维在高中数学解题中的应用
马海荣
（宁夏回族自治区银川市西夏区育才中学）
在高中数学某些问题的解题过程中，通过应用联想思维，能够开拓学生的解题思路，使学生对一些较难的问题找到解决思路。因此，在高中数学的教学过程中，要积极培养学生该方面的能力，将联想思维应用到解题当中，进一步提升学生的思维能力，增强学生的综合素质。
一、联想思维的含义
联想思维是指人们在头脑中将一种事物的形象与一种事物的形象联想起来，探索它们之间共同的或类似的规律，从而解决问题的思维方法。
联想思维是沟通新旧知识的内在联系，在处理新问题时，能够对已掌握的旧知识与新问题之间，产生丰富的联想，并运用知识的迁移规律，变换审题的角度，使问题得到更顺利、更简捷的解答。可以说，联想是探索的向导，联想是转化的桥梁，联想是巧妙的摇篮，联想是深入的阶梯。
二、联想的类型
联想思维的类型主要有以下几类：
（1）类比联想：是把陌生的对象与熟悉的对象，把未知的东西与已知的东西进行比较，从中获得启发而解决问题的方法。（2）接近联想：是指时间或空间上的接近都可以引起不同事物之间的联想，进而产生某种新设想的思维方式。（3）因果联想：是指由于两个事物存在因果关系而引起的联想。这种联想往往是双向的，既可以由起因想到结果，也可以由结果想到起因。（4）相似联想：相似联想就是由某一事物或现象想到与它相似的其他事物或现象，进而产生某种新设想。这种相似，可以是事物的形状、结构、功能、性质等某一方面或某几个方面的相似。
三、联想思维在数学解题中的案例
通过以上例题我们发现，联想思维在具体的解题过程中，有着非常重要的作用，其思维方式可以使很多数学题目得到较好的解决。而这样的联想思维是在具体的学习过程中逐步培养起来的。数学是一门有着与现实生活密切联系的学科，学生在日常的'生活、学习中培养这种思维是无意识的，也是潜意识。如何培养学生的这种联想思维是中学数学教师的一项任务。
四、联想思维的培养
在日常教学中，教师不妨从以下几个方面对学生加以引导和培养。
1.注重基础教学，完善学生的知识结构。注重积累数学思想方法，解题经验，因为经验越丰富，联想就越深入，解题也就越简捷。
2.突出思维过程的教学，以利于针对性地进行联想思维的训练。教学应采取新课改的理念，运用新的学习方式，让学生主动学习的方式，辅以有效的指导，给学生留有联想的空间，避免由老师直接给出结果。
3.加强一题多解的训练。高中数学各部分知识之间存在着紧密的联系。教师在讲授每一模块时，要引导学生注重横向联系，构建知识网络，学会知识的迁移应用。这样学生的思维就灵活，联想也就丰富。教师要引导学生进行一题多解，学会几种解决数学问题的方法，培养学生的联想能力。
4.注意培养和激发学生学习数学的兴趣。“兴趣是最好的老师”，兴趣是思维培养和能力提高的内驱力。
因此，在教学中，若启发学生从多角度、多层面进行广泛的联想，则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，而且还能加深学生对知识的理解，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
参考文献：
［1］赵洪香。数学联想与数学教学［J］。数学学习与研究，.
［2］徐光明。数学教学的心理与策略［J］。新课程：下，.
［3］马桂华。数学联想能力培养举例［J］。宁夏教育，.
特殊化方法在数学解题中的应用
辩证唯物主义认为:矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中,即共性寓于个性之中,共性通过个性来表现,没有脱离共性的个性,也没有脱离个性的共性.人类的`认识活动,总是先认识个别的、特殊的事物,通过概括和推理来认识一般事物的.
作 者：张凤清 作者单位：北京市顺义区张镇中学,101307 刊 名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 47(8) 分类号：O1 关键词：向量、导数在高考解题中的应用
新教材引入向量、导数后对高中数学教学产生了极大的影响,特别是对我们高三的复习教学,因为它们应用领域极为广泛,可渗透到众多的'教学模块中,如向量在三角函数、立体几何、解析几何等中的应用,导数在函数的单调性、最值等方面的应用.它们为数学同题开拓了新的思路,也使解题方法更加快捷与多样化,因此我们在复习时应该改变以往的复习思路与模式,这些内容给予充分的重视.
作 者：宋书强 作者单位：河北省临城中学,河北临城,054300 刊 名：科技创新导报 英文刊名：SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD 年，卷(期)： “”(12) 分类号：G623 关键词：复习 向量 导数 应用我们用清晰的思路解决了“子弹穿过水瓶”的问题，还画了一幅思维路径图。一定会有细心的人注意到，这幅图虽然给出了正确的答案，但里面也有什么水的浮力、密度，甚至光的折射、反射等跟正确答案一点都不沾边的东西。
既然解决这道题，只需要知道水的压强的方向就够了，去想这些乱七八糟的东西干吗?不是浪费时间吗?本来我就觉得自己脑子不够聪明，想要提高思考的效率，现在倒好，用了这幅思维路径图，不仅没有找到“捷径”，还要多走几条弯路，这不是在拿人开心么?
为了搞清楚这个问题，我们来看这样一幅图。它是1983年的高考作文试题，叫做“挖井”。
这幅漫画很容易看懂：我们做事情的时候，不能像图中的挖井人一样，东挖挖、西挖挖，三心二意、浅尝辄止，最后还埋怨地下没有水——实际上只要他再多努力往下挖一点，就可以找到水源了。所以说，干什么事情都要专心致志、坚持到底，只有这样才能取得成功。
这个寓意当然很好，不过现实情况和这幅漫画的情况有所差别。大家比较一下，下面这幅图和原图有什么区别?哪个更符合现实?
在现实中，要想成功必须坚持不懈，但坚持不懈不一定能取得成功，关键在于你坚持的方向对不对。鲁迅先生说过：“世界上本没有路，走的人多了，也就有了路。”道理很深刻，但是不能胡乱套用，比如说：“地下面本来没有水，挖得深了，也就有了水。”这就错了，地下如果本来没有水，挖得再深，也挖不出水来。
真正要把水挖出来，实际上需要两个步骤：第一是横向挖，然后是纵向挖。
纵向挖大家都明白，就是往深了挖。但在费力地深挖之前，先要估计一下地下面有没有水，值不值得费那么大的劲挖那么大个坑——这就需要横着挖。所谓横着挖，就是在地面上多换几个点试着挖一下，如果越挖泥土越潮湿，那有水的可能性就大，就值得深挖;如果越挖越干，那有水的可能性就小，或者发现石头太多，根本挖不动，就应该换个地方试一试。
我们在学习和解题的时候，也跟挖井一样，需要横向的思维和纵向的思维。一道题目拿到手以后，除非你是天才或者以前做过这道题，否则不可能一下子就想出答案。正常的思考过程应该是：根据条件和问题，想一想从哪些方面着手可能做出来，每个方面都试一试，如果此路不通，那就再换一条——这是横着挖。
不断的尝试，发现有一条路可以走通，于是深入思考，精确计算，最后找出答案——这是纵着挖。
但实际情况是，我们现在往往只重视纵向的思考，而忽视了横向的思维。比如老师讲题：“大家看!这道题的思路是这样的：从这个点出发，这样推、这样推、这样推——就把答案算出来了。”至于这个点是怎么找到的，推理过程为什么是这样而不是那样，则很少去讲。很少去讲的原因也很简单——因为不这样做就找不到正确答案。
这就好比我们去向挖井高手请教怎么挖出水来，他把我们带到某个地方，说：“看我的。”说完只看见铁锹乱舞、尘土飞扬，一会儿挖出一个深坑出来，里面咕噜咕噜往外冒水。然后对我们说：“明白了吧?就是这样挖的。”
大家一看，哇，原来挖井这么简单，于是自己也拿着铁锹找个地方猛挖一通，也挖出一个一模一样的深坑出来，只是里边说什么也不冒水。大家挖得腰酸胳臂疼，却看不见一丁点水，想想自己的动作跟挖井高手没什么两样啊?于是得出一个结论：人家就是比我聪明。
解题的过程，并不等于思考的过程。就好像挖坑的过程，并不等于挖井的过程一样。这是我们很多人存在的认识误区。你向别人请教问题，他不仅给了你答案，还讲了一遍解题过程，这就好像他不仅让你看到水，还让你看到他在挖坑。但是，这并不是解题的核心，真正的核心他没有讲出来：为什么要在这里往下挖?
现在，我们总结出来解题的正确步骤如下：
第一，从题目的条件和问题当中找出关键词，列举出来;
第二，从关键词展开联想，逐级扩散，尽可能把相关的知识点都想出来(横向思维)。
——当然，有的时候你还没有想多少点，就已经发现哪里有水了，这个时候就可以跳过这一步，直接向下深挖(纵向思维);
第三步，逐一思考，逐一排除，最后找到解题的思维路径(纵向思维)。
除了作文题和单纯考记忆的题目(比如默写古诗词、选择符合汉语意思的英语单词)外，用这三个步骤，可以解决我们考试中遇到的任何一道题目。实际上，这三个步骤运用熟练之后，对我们写作文的时候选择创意、理清思路，以及背诵单词和英语课文也是很有帮助的。
有的时候情况会复杂一些，比如某些难题不仅要找到一个思路，还需要找到几个思路，并把它们结合起来。但原理是完全一样的，这个我们也会在后面再做深入介绍。
对于很多觉得自己思路不够清楚、做题的时候总是找不到方向的人来说，按照这三个步骤画图解题，是一种非常有效的工具。它有点像纠正驼背的“背背佳”，对于习惯于弯着背走路的人来说，刚开始穿肯定觉得特别扭，但久而久之，却能够把错误的习惯扭过来。一旦形成了挺胸抬头走路的新习惯，也就不必再穿了。
等你真正养成新的思维习惯之后，也就不用画图，一看到一道题目，条件反射一样的就按照这个思路开始想问题了。这个时候你就会发现，思维的效率大大提高，真正成了一个“聪明人”了。
地理记忆方法有哪些
1. 晨昏线判定极其特点口诀.
晨昏线圈过地心，昼夜跨度断晨昏。(断晨线还是昏线)
地球自转西向东，晨昏反转要记清。(判断晨昏线运动方向)
冬夏两至极圈切，与经重合春秋分。(断节气)
赤道交点很重要，6点18指示清。(断时辰)
经线平分昼夜球，晨昏转折纬最高，正午子夜在此经。(晨昏线、经纬线与时辰关系)
2. 地方时计算方法：
同侧相减异侧加，准确计算经度差。
相差一度四分钟，东早西晚算时空。
若遇值大或为负，加减24推天数。
3. 太阳系八大行星位置：
水金地火木土天，海王星星绕外边。 冥王降级只因小，未将轨道障碍扫。
4.记特殊经纬线：
北回归线穿过地区：沙漠尼罗阿拉伯，印度河口恒三角。 孟湾北侧广台湾，古岛墨中回归穿。
北纬三十度线穿过地区：开罗运河波斯湾，伊朗高原长青川，杭州加洲夏威夷，墨湾北侧佛罗里。
北纬45度穿过地区:阿尔卑斯黑里咸,北疆蒙古千岛寒。西部海岸中平原,五湖渥太加美连。
赤道穿过地区:几内刚果维多湖,东非高原马代夫。印尼基多哥伦比,亚马河注赤道里。
南回归线穿过地区：南非马达澳洲沙，拉普平原河两巴,巴西首城圣保罗,南回归线脚下过。
北纬六十度穿过：北海波罗东欧平，西伯利亚连白令。阿拉斯加落基山，拉布拉多哈得湾。
5.“ 君问归期未有期,巴山夜雨涨秋池.何当共剪西窗烛,却话巴山夜雨时.”地理解读：
巴山地区受地形影响,夜间盆地气温比较高,形成低压而两侧的山脉尤其是青藏高原东侧的山脉气温低,形成高压,导致晚上形成山风,当冷的山风吹到盆地将使原来的暖气团台升,上升过程中降温,冷凝成雨.故多夜雨.
“西窗”:特别是在我国北方的地区,在以前流行四合院式的建筑分东南西北四厢,北厢向光性最好,而且多住老人长者,而东厢多住儿子,西厢住女儿,而儿子结婚后,其妻子也自然住在了东厢,而东厢房的窗户自然就朝向了西边。故而说共剪西窗烛。
6. 我国东部雨带时空特点：
4.5登陆在东南，5.6移至江淮岸，
7月8月去“三北”(华北、东北和西北)，
9月南撤10月退，北上缓慢南撤快。
7.东部季风分界
大兴阴山贺兰山,巴颜岗底季风圈。
8.记我国主要铁路干线及穿过的主要城市：
京广线-京哈线：京石郑汉长株广，郑交陇海株交湘,北通辽吉黑龙江(哈尔滨)。
京九线：北京霸任(人)交陇商，荷(喝)麻九南(男)赣圳香。
京沪线：京津济徐蚌，南京镇苏上。
陇海线：连云徐郑洛阳西，要达兰新过宝鸡。
浙赣湘黔线：沪杭金鹰株怀贵，贵昆中陷六盘水。
15. 中国的陆上邻国与海上邻国：
陆邻俄蒙和朝鲜,珠峰处在中尼边.哈吉塔巴阿富汗,印度越南不老缅.海上邻国又六员,印尼马文菲日韩。
16.昼夜长短的时空规律：
夏半年里白昼长,纬度越高昼越长.冬半年里白昼短,纬度越高昼越短。
17. 秦淮分界线:
秦岭淮河分湿半,800mm降水线.温带亚热被分开,恰是冬季0°温线 。
18.微地貌判断：
远望俯瞰赏高山,地貌造型定点看.
山水交映乘船赏,仰望瀑布赛神仙.
峡谷溶洞一线天,身临其境好近观.
江河湖海借楼阁,登高远望好河川.
19.日期变更线：
向东跨过180,日期倒退称人文.向东跨过0时经,日期必定往前增。
20.四川盆地地形:
川西横断在西边,东北大巴连巫山,南有云贵崎岖险,四条大河汇入川.(雅砻江起源于青藏高原,嘉陵江起源大巴山于重庆汇入长江,乌江起源云贵高原在重庆涪陵汇入长江,岷江起源川西岷山流经成都在宜宾汇入长江)
21.我国主要铁矿地：
内蒙白云冀迁安,辽宁本溪和鞍山,海南石碌皖马鞍,湖北大冶攀枝川.
22. 我国有色金属产地：
水口铅锌金昌镍,白云鄂博稀土铁.
广西平果盛产铝,大余钨矿赣南侧.
铜仁无铜偏产汞,锡矿无锡锑味浓,
招远金德兴铜,个旧锡矿天下雄.
23.太阳能安装倾角:
安装倾角阿尔发,恰好等于纬度差.
24.等值线问题：
等大内大，等小内小(等值线通常情况满足相邻两条等值线差值相等的特点，但特殊的封闭区域要注意的是，如果封闭线上的值等于小的，封闭区域内的值会更小。反之更大。);高低高，低高低(高值弯向低值该处值高，低值弯向高值该处值低。)
25.地球上最近走法：
北北南南(北半球向更北走，即近北极走;南半球向更南走，即近南极走。即要沿地球大圆走为最近走法，南北方向可能转折)。
26.根据地形特点寻找地下水：
掌心地，最有利;两山夹沟，沟谷水流;两沟相交，泉水滔滔;山嘴对山嘴，嘴下有好水;两山夹孤山，常常水不干;两山夹一嘴，下面有泉水;大山低嘴下，挖井水量大;山扭头，有水流;凸山对凹山，好水在凹间;大山突一嘴，打井多有水;湾对湾，水不干;两山相接头，下面泉水流;河漫滩上卵石多，地下潜水似暗河;大河沿岸古河道，沙砾岩下有潜水。
27.根据地质构造寻找地下水：
向斜岩层储水好，水量丰富容易找;断层一线天，有水在里面;岩层像个坡，地下水很多;河流两旁河漫滩，阶地普遍有水源;山口以远冲积扇;地下普遍有水源;滑坡半个圆，有水在里面;石灰岩溶洞听声响，水口地下有水源。
常用的地理口诀在解题中的应用
1.在地球侧视图中晨昏线的判读：
“左夜晨，右夜昏”
即在地球侧视图中，晨昏线的左侧为夜半球，则该线为晨线;晨昏线的右侧为夜半球，则该线为昏线。
2.在地球公转图中“二分二至日”的判读：
“左斜左冬，右斜右冬”侧为冬至日。只要判读出冬至日，就可根据地球公转方向判断出春分、夏至、秋分三个节气。
3.地方时(区时)的计算：
“求出时差，东加西减”
经度不同，地方时不同。由于地球自西向东自转，在同纬度地区，相对位置偏东的地点要比位置偏西的地点先看到日出，因此时刻要更早一些。计算的方法分两步：(1)根据经度每隔 15°时间相差1 小时，经度每隔1′时间相差4 分钟，求出两地的时间差;(2)未知时间=已知时间±时差。若未知时间在已知时间的东面，则相加;若未知时间在已知时间的西面，则相减。
4.气压高低的比较：“上低下高，高高低低”
垂直方向气压高低的比较，符合“上低下高”原则，即越往上，海拔越高，空气越稀薄，气压越低;越往下，气压越高。水平方向气压高低的比较，看等压面的弯曲状况，符合“高高低低”原则，即等压面向高处弯曲为高压，向低处弯曲为低压。
5.大洋环流的运动方向：
“两个 8 字，上逆下顺”
全球大洋环流分为两大环流：一是以副热带为中心的中低纬环流，二是以副极地为中心的中高纬环流。可在南北半球各写一个“8”字来掌握其运动方向，两个“8”字以赤道为界。每个“8”字，上面那个圈呈逆时针方向旋转，可表示北半球的中高纬环流和南半球的中低纬环流的运动方向;下面那个圈呈顺时针方向旋转，可表示北半球的中低纬环流的运动方向。
6.北印度洋季风环流运动方向：
“夏 p 冬 b，夏顺冬逆”
在北印度洋海区，受季风的影响，形成季风洋流。夏季吹西南季风，洋流呈顺时针方向流动，像字母“p”;冬季吹东北季风，洋流呈逆时针方向流动，像字母“b”。用字母的线段表示季风的风向，用弧线表示洋流的流向，形象直观，便于理解掌握。
7.等高线图的判读：“凸高则低，凸低则高”
“凸高则低”是指一组等高线由数值低处凸向数值高处，则该地区地势比相邻地区更低，为山谷：“凸低则高”是指一组等高线由数值高处凸向数值停薪留职处，则该地区地势比相邻地区更高，为山脊。
8.在等温线图中气温高低的判读： “高低低高”
即与同纬度相比，等温线向数值高的方向凸出，表示温度比同纬度低;等温线向数值低的方向凸出，表示温度比同纬度高。运用“高低低高”的口诀在等高线地形图中判读山脊、山谷时同样也可实用。即：在等高线地形图中，等高线数值向高处(数值大)的方向凸出的为山谷，等高线数值向低处(数值小)的方向凸出的为山脊。
9.两条等值线之间的闭合等值线内数值的判读：
“大于大的，小于小的”
即闭合等值线数值若等于两条等值线中的大值，则其内侧数值大于大值;若数值等于两条等值线中的小值，则其内侧数值应小于小值。
10.洋流对等温线影响的判读：
“寒低暖高”(低、高指纬度而言)
即寒流使等温线向低纬弯曲，暖流使等温线向高纬弯曲。
