以下是小编帮大家整理的圆的对称性2教案（共含7篇），仅供参考，欢迎大家阅读。同时，但愿您也能像本文投稿人“guolei000cn”一样，积极向本站投稿分享好文章。
教学目标
1.知识与技能
(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心; (2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题. 2.过程与方法
(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高;
(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧. 3.情感、态度与价值观
经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣.
教学重难点
重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解.
难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题.
教学过程
一、创设情境，导入新课
问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?
(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴).
问：我们是用什么方法来研究轴对称图形? 生：折叠.
今天我们继续来探究圆的对称性.
问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗? 生：圆心和半径.
问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗? 忆一忆：
1.圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________. 2.弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径.__________称为优弧，_____________称为劣弧.
3.___________叫做等圆，_________叫做等弧. 4.圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角.
二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性
1.圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
2.大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢?
动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心?
学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条.
知识点二：圆的中心对称性.
问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗?
让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
做一做：
在等圆⊙O和⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB和AOB(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA与OA重合.你能发现哪些等量关系吗?说一说你的理由.
小红认为AB=AB，AB=AB，她是这样想的： ∵半径OA重合，AOB=AOB， ∴半径OB与OB重合，
∵点A与点A重合，点B与点B重合， ∴AB与AB重合，弦AB与弦AB重合， ∴AB=AB，AB=AB.
生：小红的想法正确吗?同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨. 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系.
问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?你是怎么想的?
学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨.
结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三、例题讲解
例：如图3-9，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD=CE，BE与CE的大小有什么关系?为什么?
解：BE=CE，理由是： ∵∠AOD=∠BOE， ∴AD=BE， 又∵AD=CEa2+b2 ∴BE=CE， ∴BE=CE. 议一议
在得出本结论的过程中，你用到了哪些方法?与同伴进行交流.
四、随堂练习
1.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例. 2.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案： (1)是轴对称图形但不是中心对称图形; (2)是中心对称图形但不是轴对称图形; (3)既是轴对称图形又是中心对称图形.
3.已知，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，试确定四边形OACB的形状，并说明理由.
五、知识拓展
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D， 求»AD所对的圆心角的度数.
六、自我小结，获取感悟
1.对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点?有何收获? 2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示? 3.对老师说，你还有哪些困惑?
七、布置作业
P72-73习题1-3题.
一、教材分析：
(一)教材的地位与作用
本节课是圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段等、角等、弧等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于举足轻重的位置。
另外，本节课通过“实验--观察--猜想——合作交流——证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。
因此，掌握垂径定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。
(二)教学目标
根据《数学课程标准》对这部分知识的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为：
(1)知识与技能目标
使学生理解圆的轴对称性;掌握垂径定理;学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
(2)过程与方法目标
在实验过程中，培养学生观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
(3)情感与态度目标
在解决问题过程中，培养学生敢于面对挑战和善于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的经验，充分享受数学之美，从而体验学习数学的乐趣。
知识与技能目标固然重要，对于本节课：过程与方法和情感与态度更重要，因为这部分是几何教学的重点，是由实验几何向论证几何的过渡，过程与方法可以帮助学生学会认识事物、分析问题的方法;有良好的情感态度能培养好的学习兴趣，养成好的学习习惯。
(三)教学重点和难点
教学重点：垂径定理及其应用。
(由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。)
教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
突出重点、突破难点的关键：创设具有启发性的问题情境，通过学生动手操作，多媒体生动直观地演示，让学生经历“提出问题——探究讨论——归纳发现”的过程，在这个过程中，要给学生在充足的活动时间，使学生在积极思维的状态下参与探究性学习。
而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。
二、教学方法的选择与应用
本节课我采用实验操作，直观演示，合作交流等方法指导学生动眼观察、动手操作、动脑思考、动口表述，让学生从实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。
同时采用多媒体辅助教学和实物演示，直观生动地反映图形特点。
三、教学模式
为了实现教学目标，优化教学过程，本节课设计了六个教学环节：课前准备(制作实验器材、完成预习提纲)、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。
四、教学过程
第一环节
课前准备
活动内容：(提前一天布置)
1. 每人制作两张圆纸片(最好用16K打印纸) 2. 预习课本P88~P92内容
设计意图：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力;在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。 预期存在的问题：
学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其进行启发引导，找出圆心。
第二环节
创设问题情境，引入新课
活动内容：
教师提出问题：轴对称图形的定义是什么?我们是用什么方法研究了轴对称图形?学生回忆并回答。
活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。 预期存在的问题：
由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。部分学生可能遗忘了定义，因此教师要通过一些学生熟悉的轴对称图形来引导同学正确叙述其定义，比如通过矩形。教师作出演示，学生会更容易表达。 第三环节
讲授新课
活动内容：
(一)想一想圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?你是用什么方法解决上述问题的?
(二)认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。
(三)探索垂径定理。
做一做
1.在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合.
2.得到一条折痕CD.
3.在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足.
4.将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图
问题：(1)观察右图，它是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由。
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
(四)讲解例题及完成随堂练习。
[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
练习：完成课本P92随堂练习：1
(五)探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。 想一想：
如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：(1)上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?(2)你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由。
总结得出垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
练习：完成课本P92随堂练习：2
活动目的：内容
(一)的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线;内容
(二)的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究;内容
(三)的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。内容
(四)的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。内容
(五)的主要目的与内容
(三)相似。 第四环节
课堂小结
活动内容：师生互相交流总结：
1. 本节课我们探索了圆的轴对称性;
2. 利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理;
3. 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。 第五环节
课后作业
1. 课本习题3.2，1，2。试一试1 2. 预习课本P94~97内容。
教学目标
(一)教学知识点(二) 1.圆的旋转不变性.
2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理. (二)能力训练要求
1.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力.
2.利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理. (三)情感与价值观要求
培养学生积极探索数学问题的态度及方法. 教学重点
圆心角、弧、弦之间关系定理. 教学难点
“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.
教学方法 指导探索法. 教具准备 投影片两张
第一张：做一做(记作§3.2.2A) 第二张：举反例图(记作§3.2.2B) 教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么?哪位同学知道?
[生]用旋转的方法.中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形.这个点就是它的对称中心.
[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形.那么，圆还有其他特性吗?下面我们继续来探讨.
Ⅱ.讲授新课
[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? [生]大小一样.
[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定.
将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗? [生]重合.
[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性.即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合.圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.即圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
[师]我们一起来做一做.(出示投影片§3.2.2A) 按下面的步骤做一做：
1.在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下.
2.在⊙O和⊙O'上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如下图示)，圆心固定.注意：在画∠AOB与∠A'O'B'时，要使OB相对于OA的方向与O'B'相对于O'A'的方向一致，否则当OA与OA'重合时，OB与O'B'不能重合.
3.将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O'A'重合.
[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作.
[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由.
[生甲]由已知条件可知∠AOB=∠A'O'B'.
[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A'.
[生丙]由△AOB≌△A'O'B'，可得到AB=A'B'. [生丁]由旋转法可知ABAB. „„
[师]很好.大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到一种新的证明弧相等的方法——叠合法.
[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O'A'重合时，由于∠AOB=∠A'O'B'.这样便得到半径OB与O'B'重合.因为点A和点A'重合，点B和点B'重合，所以和重合，弦AB与弦A'B'重合，即
，AB=A'B'.
的理由是[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?
[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
下面，我们一起来看一看命题的证明. (学生互相讨论交流，学生口述，教师板书) 如上图所示，已知：⊙O和⊙O'是两个半径相等的圆，∠AOB=∠A'O'B'. 求证：，AB=A'B'.
证明：将⊙O和⊙O'叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O'A'重合，∵∠AOB=∠A'O'B'，
∴半径OB与O'B'重合.
∵点A与点A'重合，点B与点B'重合， ∴∴与重合，弦AB与弦A'B'重合. ，AB=A'B'.
上面的结论，在同圆中也成立.于是得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论.
[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.(出示投影片§3.2.2B)
[生]如下图示，虽然∠AOB=∠A'O'B'，但AB≠A'B'，
下面我们共同想一想.
[师]如果我们把两个圆心角用①表示;两条弧用②表示;两条弦用③表示.我们就可以得出这样的结论：
在同圆或等圆中②也相等
①相等③如果在同圆或等圆这个前提下.将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说.(同学们互相交流、讨论)
[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确.可以通过旋转法或叠合法得到证明.
[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到.
[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论?
[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等.
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义.否则易错用此关系.
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分.如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等.
例如，下图中的∠1=∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD=BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦.
[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容. 课本P97
随堂练习
1、
2、3 Ⅲ.课时小结
[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)
[生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形;利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理;利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、孤、弦、弦心距之间相等关系定理„„
Ⅳ.课后作业
课本P98
习题3.3：
1、2 Ⅴ.活动与探究(略) 板书设计
§3.2.2 圆的对称性
一、圆的旋转不变性
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
二、圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 证明：略
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业
六环三步教案3.2 圆的对称性（纪国贤）
课题 3.2 圆的对称性 课型 新授 课时 单位 南岭九年一贯制学校 姓名 1 教学目标 知识与技能：理解图的`轴对称性及垂线定理的相关内容 纪国贤 过程与方法：经历探索圆的对称性的过程 情感态度与价值观：增强应用数学的意识 重点 垂线定理及应用 难点 定理及推论的应用 教具 直尺 圆规 环节 教学过程 设计意图 创设情景导入新课 师:圆是轴对称图形吗?它的对称轴失什么?你能用什么方法解决上述问题? 生：交流讨论 创设情景,激发兴趣 探究新课 阅读教材,归纳本节内容,并提出问题 概念：弦 直径 弧 半圆 培养自学能力 师:利用折叠方法,得出同是轴对称图形,其对称轴是经过圆心的每一条直线. 培养观察动手能力 垂线定理:垂于弦的直线平分这条弦,并平分弦所对的弧 培养发现解决问题能力 拓展应用 已知:圆O的半径30cm.,弦AB=36cm,求:点O到AB的距离及角OAB的余弦 及时巩固,拓展 布置作业 完成课后练习课外探究 板 书 设 计 课后反思 成功 不足 改进由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系：
(1)相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.
(2)相切：直线和圆有公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,的公共点叫做切点.
(3)相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
直线与圆的位置关系的数量特征
1、迁移：点与圆的位置关系
(1)点P在⊙O内dr.
2、归纳概括：
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么
(1)直线l和⊙O相交dr.
练习题：
1.直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交
2.圆的的弦长为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么()
A.d<6cm
B.6cm
C.d≥6cm
D.d>12cm
3.P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设∠APB=α，∠AQB=β，则α与β的关系是()
A.α=β
B.α+β=90°
C.α+2β=180°
D.2α+β=180°
4.在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为()
A.x2+12x+28=0
B.x2-12x+28=0
C.x2-11x+12=0
D.x2+11x+12=0
教学目标
(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.
(2)掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.
(3)了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.
(4)掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.
(5)进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题.
②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.
教法建议
(1)圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.
(2)在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.
(3)解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.
(4)有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.
教学目标：
(1)掌握圆的一般方程及其特点.
(2)能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.
(3)能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.
(4)通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.
教学重点：(1)用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.
(2)用待定系数法求圆的方程.
教学难点：圆的一般方程特点的研究.
教学用具：计算机.
教学方法：启发引导法，讨论法.
教学过程：
【引入】
前边已经学过了圆的标准方程
把它展开得
任何圆的方程都可以通过展开化成形如
①
的方程
【问题1】
形如①的方程的曲线是否都是圆?
师生共同讨论分析：
如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法，得
②
显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：
(1)当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆;
(2)当 时，②表示一个点 ;
(3)当 时，②不表示任何曲线.
总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.
圆的一般方程的定义：
当 时，①表示以 为圆心、以 为半径的圆，
此时①称作圆的一般方程.
即称形如 的方程为圆的一般方程.
【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.
(1) 和 的系数相同，都不为0.
(2)没有形如 的二次项.
圆的一般方程与一般的二元二次方程
③
相比较，上述(1)、(2)两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
(1)圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.
(2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.
【实例分析】
例1：下列方程各表示什么图形.
(1) ;
(2) ;
(3) .
学生演算并回答
(1)表示点(0，0);
(2)配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆;
(3)配方得 ，当 、同时为0时，表示原点(0，0);当 、不同时为0时，表示以 为圆心， 为半径的圆.
例2：求过三点 ， ， 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径.
分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.
解：设圆的方程为
因为 、、三点在圆上，则有
解得： ， ，
所求圆的方程为
可化为
圆心为 ，半径为5.
请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.
【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：
(1)求圆的方程多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程(标准方程或一般方程);根据条件列出关于待定系数的方程组;解方程组求出系数，写出方程.
(2)如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程;如果给出圆上已知点，可选用一般方程.
下面再看一个问题：
例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、两点，求线段 的中点 的轨迹.
解：圆 的方程可化为 ，其圆心为 ，半径为2.设 是轨迹上任意一点.
∵
∴
即
化简得
点 在曲线上，并且曲线为圆 内部的一段圆弧.
【练习巩固】
(1)方程 表示的曲线是以 为圆心，4为半径的圆.求 、、的值.(结果为4，-6，-3)
(2)求经过三点 、、的圆的方程.
分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为 .
(3)课本第79页练习1，2.
【小结】师生共同总结：
(1)圆的一般方程及其特点.
(2)用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.
(3)用待定系数法求圆的方程.
【作业】课本第82页5，6，7，8.
★ 《绿》教案2
★ 《识字2》教案
★ 安全教案2
★ 教案：2 瀑布
★ 圆的周长教案
★ 圆的认识教案
★ 《圆的周长》教案
★ 圆的面积教案
