下面是小编收集整理的证明角平分线的性质教案（共含18篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。同时，但愿您也能像本文投稿人“怀特”一样，积极向本站投稿分享好文章。
一、教学目标：
(一)掌握的知识与技能：
1、经历折纸、画图等操作过程认识三角形的高、中线、角平分线，结合图形，会用几何语言表述。
2、会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线。
(二)经历的教学思考：
经历折纸、画图、观察、思考、交流等活动，发展空间观念和表达能力
(三)培养的情感态度和价值观：
通过数学活动，让学生体验和理解三角形中的特殊线段，结合图形认识三角形的高、中线、角平分线所揭示的数量关系，学会发现问题，解决问题。
二、教学重难点：
1、重点：(1)了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具准确画出三角形高、中线、角平分线。
(2)了解三角形的三条高，三条中线与三条角平分线分别交于一点。
2、难点：(1)三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别。
(2)钝角三角形高的画法。
(3)不同的三角形三条高的位置关系。
三、教学方法：自主探究，合作交流
四、教学工具：三角形纸片，三角板，直尺
五、教学过程：
1、各组组长检查预习作业完成情况。
2、师生问好。
3、情境导入：【大屏幕显示】白雪公主有一块三角形的煎饼，她打算把煎饼分成面积相等的七块给小矮人，想了很久也不知道怎么分，你能帮助她吗?
4、展示本课学习目标【大屏幕显示】
5、学生自学课本p65-66内容后，完成导学案。(小组共同完成，组长组织)教师巡视全班。(导学案附后)
6、通过题目检查学生自学情况。【大屏幕显示】(学生抢答)
7、将学生在自学过程中的疑难问题适当加以点拨。
8、学生完成课堂练习，完成后交给组长评分。(课堂练习附后)
9、共同完成拓展练习。
10、共同完成课前设疑的问题。现在你能帮助白雪公主了吗?
11、课堂小结：由学生总结，互相补充。
12、布置课下作业。
【导学案和课堂练习题附后】
三角形的高、中线和角平分线导学案
课前准备：请你完成下列作图：
1、经过点a画直线l的垂线
2、画∠aob的角平分线
3、作出线段ab的中点o
动手实践，探究新知：
(一)三角形的高线
1、三角形高线定义：
2、请你画出下面三角形的高
思考：(1)三角形的高线有 条;
(2)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? ;
(3)直角三角形的三条高线相交 ;
(4)钝角三角形的三条高线也相交于一点吗?
请你拿出课前准备好的三角形，通过自己折纸画出三角形的角平分线和中线，回答下面问题
1、三角形角平分线定义：
2、三角形有几条角平分线?
3、你发现三角形的三条角平分线是否交于一点?
(三)三角形的中线
1、三角形的中线定义：
2、三角形有几条中线?
3、你发现三角形的三条中线是否交于一点?
三角形高、中线、角平分线课堂练习
应用新知，体验成功
1、填空：∵ad是△abc的高
∴ = = °
2、《三角形的高、中线与角平分线》教学设计填空：∵cf是△abc的中线
∴ = =
3、《三角形的高、中线与角平分线》教学设计填空：∵ae是△abc的角平分线
∴ = =
4、如图：cd，be是∆abc的角平分线，它们相交于点i，则
①∠acd=∠ = ∠acb， ∠abc= ∠abe
②bi是∆ 的角平分线，ci是∆ 的角平分线。
③你能画出∆abc的第三条角平分线吗?
5、如图，在∆abc中，∠bac是钝角，请在∆abc中分别画出:
(1) ∠bac的平分线;
(2)ac边上的中线;
(3)ac边上的高;
(4)ab边上的高。
6、已知：如图， 在△abc中， ∠acb=90°，cd是高，
则图中互补的角有 对，分别为
7、请你找出图中以ad为高的三角形
它们分别是
8、三角形某条边上的高( )
a在三角形的内部 b在三角形的外部 c在三角形的一边上 d以上三种情况都有可能
9、如图，如果d是bc的中点，bc=6,ae⊥bc于e,ae=4
则bd=dc= ，s△abd= ，
s△acd= , s△abd s△acd.
10、三角形的一条( )，能把三角形分成两个面积相等的三角形。
a.角平分线 b.中线 c.高 d.以上都不对
1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形 斜边是OP即公共边，直角边斜边)
3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)
4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
∵C是AB的中点
∴AC=BC
5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°
或∵∠AOC=90°
∴AB⊥CD
注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的
一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
∵△ABC≌△A'B'C'
∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
(一)重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
(二)难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
(三)解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
(-)明确目标
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理(同位角相等，两直线平行).由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习-平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
(一)重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
(二)难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
(三)解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
(-)明确目标
掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.
(二)整体感知
以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理.
(三)教学过程
创设情境，引出课题
师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由(出示投影).
1.两条直线不相交，就叫平行线.
2.与一条直线平行的直线只有一条.
3.如果直线 、都和平行，那么 、就平行.
学生活动：学生口答上述三个问题.
【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法.
师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗?根据什么?
学生：能判定垂直，根据垂直的定义.
师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗?
学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行?
教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢?
学生活动：学生思考，在前面复习-平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线 ，让 ，再看 是否平行于 就可以了.
师：这种想法很好，那么，如何作 ，使它与平行?若作出 后，又如何判断 是否与平行?
学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题.
师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的(板书课题).
[板书]2.5(1).
【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断.这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容.
探究新知，讲授新课
教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动 ，让学生观察， 转动到不同位置时， 的大小有无变化，再让 从小变大，说出直线 与 的位置关系变化规律.
【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论.
图1 |
学生活动： 转动到不同位置时， 也随着变化，当 从小变大时，直线 从原来在右边与直线 相交，变到在左边与 相交.
师：在这个过程中，存在一个与 不相交即与平行的位置，那么 多大时，直线 呢?也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系.
师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线 外一点 画 的平行线 .
学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示(见图1).
师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么?
图2 |
学生：保证了两个同位角相等.
师：由此你能得到什么猜想?
学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行.
师：我们的猜想正确吗?会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢?
教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前，让学生看清 角和 角(如图2)，而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论.
学生活动：学生观察、讨论、分析.
总结了，当 时， 不平行 ，而无论 取何值，只要 ， 、就平行.
图3 |
教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为公理.
[板书]两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
即：∵ (已知见图3)，
∴ (同位角相等，两直线平行).
【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确.尝试反馈，巩固练习(出示投影).
图4 |
1.如图4， ， ， 吗?
2. ，当 时，就能使 .
【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.
(出示投影)
直线 、被直线 所截.
图5 |
1.见图5，如果 ，那么 与 有什么关系?
2. 与 有什么关系?
3. 与 是什么位置关系的一对角?
学生活动：学生观察，思考分析，给出答案： 时， ， 与 相等， 与 是内错角.
师： 与 满足什么条件，可以得到 ?为什么?
学生活动： ，因为 ，通过等量代换可以得到 .
师： 时，你进而可以得到什么结论?
学生活动： .
师：由此你能总结出什么正确结论?
学生活动：内错角相等，两直线平行.
师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：
[板书]两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.
师：上面的推理过程，可以写成
∵ (已知)，
(对顶角相等)，
∴ .
[∵ (已证)]，
∴ (同位角相等，两直线平行).
【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使中国学习联盟胆尝试，培养他们勇于进取的精神.
教师指出：方括号内的“∵ ”，就是上面刚刚得到的“∴ ”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略.
尝试反馈，巩固练习(出示投影)
1.如图1，直线 、被直线 所截.
(1)量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么?
(2)量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么?
2.如图2， 是 的延长线，量得 .
(1)从 ，可以判定哪两条直线平行?它的根据是什么?
(2)从 ，可以判定哪两条直线平行?它的根据是什么?
图1 图2
学生活动：学生口答.
【教法说明】这组题旨在巩固公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.
变式训练，培养能力
(出示投影)
1.如图3所示，由 ，可判断哪两条直线平行?由 ，可判断哪两条直线平行?
2.如图4，已知 ， ， 吗?为什么?
图3 图4
学生活动：学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.
【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.
(四)总结扩展
2.结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式.
八、布置作业
课本第97页习题2.2A组第4、5、6(1)(2)题.
一、教学分析
1.教学内容分析
本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第11.3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的.内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用.作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础.因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用.同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律.
2.教学对象分析
刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导.根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。
二、教学目标
1、知识与技能：
(1)、掌握用尺规作已知角的平分线的方法.
(2)、理解角的平分线的性质并能初步运用.
2、数学思考：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力.
3、解决问题：
(1)、初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用.
(2)、培养学生的数学建模能力.
4、情感与态度：充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.
三、教学重点、难点
重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用.
难点：(1)对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解;
(2)对于性质定理的运用(学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明)
四、教学过程
教学环节设计
1.提出问题、思考探究
问题1：
生活中有很多数学问题：
小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.
(1)、怎样修建管道最短?
(2)、新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看.
[设计意图]
依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的第一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了点到直线的距离这一概念，为后续的学习作好知识上的储备.
问题2：
要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用简易平分角的仪器来画角的平分线.出示仪器模型，介绍仪器特点(有两对边相等)，将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线.为什么?
[设计意图]
体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，并主动运用所学知识来解决问题.从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法.
问题3：
把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画?BC=DC，从几何作图角度怎么画?
[设计意图]
从实验操作中获得启示，明确几何作图的基本思路和方法.
问题4：
作一个平角∠AOB的平分线OC，反向延长OC得到直线CD，请学生说出直线CD与AB的位置关系.并在此基础上再作出一个45度的角.
[设计意图]
通过作特殊角的平分线，让学生掌握过直线上一点作已知直线的垂线及特殊角的方法，达到培养学生的发散思维的目的.
问题5：
让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形(使第一次的折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.
(1)、第一次的折痕和角有什么关系?为什么?
(2)、第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系?
[设计意图]
培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫.
2、教师点拨、归纳概括
按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质.(角的平分线上的点到角两边的距离相等)结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.教师归纳，强调定理的条件和作用.
教师用文字语言叙述得到的结论.引导学生结合图形写出已知、求证，分析后写出证明过程，并利用实物投影展示.证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理.同时强调文字命题的证明步骤.
[设计意图]
经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而把学生的直观体验上升到理性思维.
3、例题解析、应用新知
例1在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F.
求证：EB=FC.
[设计意图]
为突出本节课重点、突破难点而设计的一项活动.让学生运用性质解决数学问题，通过利用多媒体对一些边进行变色，提醒学生直接运用定理，不要仍旧去找全等三角形.同时通过信息技术方便进行一题多解及一题多变研究，更好的拓展学生解题思路及形成知识运用能力.两道变题同时展示，符合高效课堂要求.通过学生观察识图、独立思考、小组讨论，培养学生合作交流的意识.
例2已知：△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
[教学方法手段]
限时让学生独立思考分析，然后交流证题思路，再通过多媒体展示一般证明过程.
[设计意图]
通过问题的解决，帮助学生更好的理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度.
4、课堂练习、巩固提高
课后练习1、2题。
[设计意图]
通过练习，巩固角平分线的性质。
5、课堂小结、回顾反思
(1)、这节课你有哪些收获，还有什么困惑?
(2)、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法?
[设计意图]
通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力.
6、布置作业、信息反馈
[设计意图]
通过课后动手练习作业，教师批改作业，检查学生本节课的学习效果，从中发现问题，及时调整教学策略。
必做题：教材第22页第1、2、3题
选做题：教材第23页第6题
五、板书设计：(略)
一、教学目标
【知识与技能】了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。
【过程与方法】在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
【情感态度与价值观】在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣、有合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,获得解决问题的成功体验。
二、教学重难点
【重点】角的平分线的性质的证明及应用。
【难点】角的平分线的性质的探究。
三、教学过程
(一)导入新课
1.复习角平分线的画法
2.利用PPT创设情景：
如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗?
(二)生成新知
探究做一做(学生独立完成，同组同学交流，找学生到黑板上板演.教师纠正答案)
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?试着证明你的结论.
0011.jpg
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD=PE.
(三)深化新知
思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?(由学生讨论汇报)
(四)应用新知
1.例题：解决导入中PPT的问题
2.练一练：(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中PD=PE.
0012.jpg
(五)小结作业
小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?
作业：必做题，选做题，思考题：角平分线性质的逆命题并证明。
一、教学目标
【知识与技能】
进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
【过程与方法】
通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】
通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
二、教学重难点
【重点】
证明角平分线的性质和判定。
【难点】
灵活运用角平分线性质解决问题。
三、教学过程
(一)设置情境问题，搭建探究平台
问题l:习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗?
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” .
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
(二)展示思维过程，构建探究平台
已知：如图，设△ABC的角平分线.BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上.
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理：PE=PF.
∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上).
∴△ABC的三条角平分线相交于点P.
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
(PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等.)
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
问题2
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题.第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长.第(2)问中，求证AB=AC+CD.这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB.
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角).
∵∠C=90°，
∴∠B=1/2×90°=45°.
∴∠BDE=90°—45°=45°.
∴BE=DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm.
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D.
求证：(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等).
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理).
∴OC=OD(全等三角形对应边相等).
(2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理).
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?
(四)课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题.
(五)课后作业
习题1.9第1、2题
四、板书设计
角平分线性质
定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
五、教学反思
一、内容和内容解析
(一)内容
角的平分线的性质.
(二)内容解析
本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续.用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质;角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质.角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等.
角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法.数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段(角的平分线上的点到角的两边的垂线段)相等.角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法. 因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用.因此本节课在教材中占有非常重要的地位.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质.
二、目标和目标解析
(一)目标
1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.
2.探索并证明角的平分线的性质.
3.能用角的平分线的性质解决简单问题.
(二)目标解析
达成目标1的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线.
达成目标2的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表述性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质.
达成目标3的标志是：学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题.
三、教学问题诊断分析
本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难.例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”.其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性.教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论(必要时可让学生将性质改写成“如果……那么……”的形式)，找出结论中的隐含条件(垂直)，正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤.
基于以上分析，本节课的教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质.
四、教学过程设计
(一)创设情景，提出问题
如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗?
师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课.
一、教学内容分析：
本节课是在刚学习完三角形全等的判定，利用平分角的仪器情境引入。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质、用数学语言表述角平分线及初步应用，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
二、学生情况分析：
在学生能利用定义、SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定两个三角形全等前提下，根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)能直观认识。学生自己动手实践，观察，组织讨论等方法，多媒体引导，以学生为主，给学生提供足够的活动时间，充分发挥他们的个性，让学生在实践中感受知识的力量，在探索中创新。
三、教学目标与重点： 教学目标
1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理。
2、会用尺规作角平分线的作法。
3、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。 教学重、难点
1、掌握角的平分线的性质定理。
2、用数学语言表述角平分线
3、角平分线定理的应用。
四、教学过程： 探究活动1：
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法? 学生讨论、动手。(对折)
师：再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系? 探究活动2：
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢? 已知：一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 证明：在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
DC=BC(已知)
CA=CA(公共边)
∴ △ACD≌ △ACB(SSS)
∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等)
∴AC平分∠DAB(角平分线的定义) 探究活动3：
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)
探究活动4： 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(3)已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：
∵
OC
平
分
∠
AOB
(
已知)
∴ ∠AOC= ∠COB(角平分线的定义)
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB(已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO(已证)
∠AOC= ∠COB (已证)
OP=OP (公共边)
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等) (4)得到角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等。 ∵ ∠1= ∠2,
PD ⊥ OA， PE ⊥ OB(已知) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等) 活动5：
学生展示，巩固角平分线的性质
1、△ABC的角平分线BE、CF相交于一点O，求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等.
2、在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则 ⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢? ⑵哪条线段与DE相等?为什么?
⑶若AB=10，BC=8，AC=6，求BE，AE的长和△AED的周长。
3、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，CF=EB;求证：BD=DF
4、已知：如图， AD平分∠BAC ， BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相B 交于D.
F B E A D C 求证： BD=CD 。
本节小结
1、情境→观察→作图→应用→探究→再应用
2、知识小结：
本节课学习了那些知识?有哪些运用?你学了吗?做了吗?用了吗? 用尺规作角的平分线. 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
【设计理念】
数学课堂是以学生为中心的活动的课堂，通过学生动手实践、自主探索、合作交流的过程，达到知识的构建，能力的培养和意识的创新及情感的陶冶，这也是实现数学教育从“文本教育”回归到“人本教育”。
【教材分析及教法】
《角平分线的性质》是人教版八年级数学上第十一章《全等三角形》第三节第一课时。它是在学生已经掌握全等三角形的性质与判定基础上继续探究的一节新授课。学好本节内容是进一步学习轴对称和直角三角形知识的基础，在教材中起承前启后的作用。
本课以教师为指导，以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以探究式教学法和直观演示法为主的教学方法，注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情景激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。 【学情分析及学法】
因为学生课前已经自学了本节课的内容对本节课的知识已经有了初步的了解，并且已经掌握了角分线的定义，全等三角形等知识。这样有利于他们类比学习本节内容。初二学生有一定的观察分析能力、逻辑思维能力和数形结合的能力，但对于角分线的特点具有的性质及逆定理比较模糊。在教学中通过分组讨论和多媒体演示能有效解决上述问题。
本节力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式。引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的点拨使观察、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。 【教学目标】
知识与技能：掌握角平分线的性质和判定，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.
过程与方法：经历探究角平分线性质判定的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理力.了解角平分线的性质在生活、生产中的应用，
进一步发展学生的推理证明意识和能力。
情感、态度、价值观：结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心。 【教学重难点】
重点：角平分线性质和判定的应用.
难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题. 【课时安排】 2课时
【教学设计策略】
依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：
1、回归学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程。
2、原则性和灵活性相结合，既要完成教学计划，在教学过程中又可以根据现实的情况，安排问题的难度，体现一些灵活性。
3、教学的形式上注重个体化，充分给予学生讨论和发表意见的机会，注重学习的参与性，努力避免以教师活动为主体的教学过程。 【教学效果预测】
本课设计力求让学生参与知识的发现过程，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念，变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体，直观教具演示，营造一个声像同步，能动能静的教学情景，给学生提供一个探索的空间，促使学生主动参与，亲身体验探索过程，从而锻炼思维、激发创造，优化课堂教学。努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变，使学生真正成为学习的主人，培养了学生的素质能力，达到了良好的教学效果。
【教学过程】
一、导入新课
创设情境，提出问题
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米。这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置，
比例尺为1：0)?
问题：
1、集贸市场建于何处? 比例尺为
1：20000是
2、比例尺为1：20000是什么意思?
什么意思? 你能在图上找出S点的位置吗?
〖答案〗
1、这个集贸市场应该建在公路
与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处.
2、在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，?这就涉及一个单位换算问题了.1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm?表示实际距离200m的意思.作图如下： 第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
〖设计意图〗通过实际问题的引入，让学生从生活中发现数学问题，激发学生的求知欲.通过对数学问题的讨论使学生知道数学来源于生活,生活离不开数学,激发学生学习的积极性.
二、探索新知
1、问题：角平分线性质逆命题是否正确呢?你能
B给出证明吗?
E〖答案〗已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD=QE.
Q求证：点Q在∠AOB的平分线上 证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB OD ∴∠QEO=90°,∠QDO=90°
又∵QD=QE ，OQ=OQ ∴Rt△QEO≌Rt△QDO ∴∠QOE=∠QOD ∴点Q在∠AOB的平分线上.
〖设计意图〗通过该问题让学生确信逆命题的正确性，并让学生试口述该性质，加深学生的印象.这个提问设置为学生区分用哪个性质给出了说明，同时又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验.
2、揭示课题，整理概念，板书点在角的平分线上. 用符号语言表示为：
角的内部到角的两边距离相等的
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE.
A
∴点Q在∠AOB的平分线上.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD=QE.
总结:应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，?使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，?我们可以直接利用性质解决问题.
3、出示例题
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
〖点拨方法〗点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，?也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，?根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上. A∴PD=PE.
D同理PE=PF. NP∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
BF探究：连接AP，请问AP平分∠BAC吗?(能否给出简单证明).
〖设计意图〗该例题运用了角平分线的两个性质，起到巩固新
知的作用.
三、课堂反馈训练
1、已知：如下图，在△ABC的外角∠CBD
l1和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点Fl3S2在∠DAE的平分线上. S4S1l2 A S3G BCN MDEFEMC
〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢? 〖答案〗
证明：过点F作FG⊥BC,FM⊥AE,FN⊥AD垂足分别为G、M、N. ∵FB、FC分别为∠CBD、∠BCE的角平分线
∴FG = FN, FG =FM ∴FN =FM ∴点F在∠DAE的平分线上.
2、如下图所示，直线l
1、l
2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有： ( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
〖点拨方法〗如上图此题可以用教科书115页第6题的方法来解决，但没有“三条公路围成的一块平地上修建”的限制，因此满足要求的地址共有四处. 〖答案〗D. 〖设计意图〗引导学生对问题进行变式，既培养学生发散性思维能力，同时也培养学生的辨别能力，让学生学会比较，养成良好的学习习惯，培养严谨的思维能力.
四、小结归纳
今天你又学到了哪些新的知识?有什么收获? 〖设计意图〗发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.
五、堂堂清练习
1、必做题：教科书第22页习题11.3第
3、5题.
2、选做题：
(1)与相交的两条直线距离相等的点在： ( ) A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上 C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上 〖答案〗 B
3、备选题：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分
别为E、F，下面给出四个结论：①DA平分∠EDF;②AE=AF;③AD上的点到B、C两点的距离相等;④到AE、AF距离相等的点，到DE、
DF的距离也相等，其中正确的结论有：( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 〖答案〗D AFE CD
六、板书设计 【教学反思】
在设计这节课时，我想如果在一节课的时间里把性质和判定学完，那只能是把本节课设计为探究课，而对于性质与判定的应用只能放在下一节课，于是我把这节课设计为探究课，把对角平分线的性质与判定定理的探索作为本节课的重点。本节课的教学方法是启发探究式。为了增加课堂密度和教学效果以及突破本节课的教学难点，我运
2、遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律，精心创设问题和反馈练习，由浅入深、循序渐进地引导学生在获取知识的过程中体验成功的喜悦。
用几何画板和幻灯片制作了课件，以增加学生对角平分线上任意一点的理解。在学生探究角平分线的性质与判定时，我分别创设了情境，一是为了给学生的探究搭建平台，培养学生的动手操作能力。二是为使学生感受到数学知识来源于实际并应用于实际。同时也体现了新课程标准下的课堂应体现学生的主体性。 【教学评价】
1、本节课以学生已学知识为载体，以展示思维过程为主线，以探索猜测为途径，突出能力培养和数学思想方法的渗透。
2、遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律，精心创设问题和反馈练习，由浅入深、循序渐进地引导学生在获取知识的过程中体验成功的喜悦。
基本结构
1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线，可过该点向另一边作垂线；
2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线，可延长该垂线段交于角的另一边；
3、在角平分线的两边截取等线段，构造全等。
三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的'内心到三角形三边的距离相等。
三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
画角平分线
1、先在纸上画一个角∠AOB，这个角是作为要被平分的角。
2、以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于C、D。
3、然后以C为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧。
4、接着以D为圆心，同3步骤一样以长度为半径用圆规画圆弧。
5、最后两圆弧交于E点。
6、连接顶点O和E，OE即为角平分线。
角平分线的性质
1、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。（定义）
2、角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的'距离相等。
4、三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
角平分线性质的证明
证明：如图，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB
证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：
OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB
角平分线的性质练习题
大家在遇到各种类型的题型时，能否沉着应对，关键在于平时多做练习，下文是由为大家推荐的精编角的平分线的性质习题，一定要认真对待哦!
已知：
1.△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为.
2.角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在_____________.
3.∠AOB的'平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.
4.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_____cm.
6.如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.
7.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长为
A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能确定
8.如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
9.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等.
角平分线(2)
1.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等.
2.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________.
3.如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是()
A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD
4.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()
A、1处B、2处C、3处D、4处
5.如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT=MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是()
A、TQ=PQB、∠MQT=∠MQPC、∠QTN=90°D、∠NQT=∠MQT
6.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于()
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
7.如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③D在∠BAC的平分线上.其中正确的是()
A.①B.②C.①和②D.①②③
8.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
9.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
三角形辅助线做法
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
1.如图，在锐角三角形ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数。
2、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。
3、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D求证：∠AMB=∠CMD
4.如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC=120o，说明AD=BD+CD的理由
3
5.如图14-29①，在ΔABC中∠ACB=900，AC=BC，M为AB中点，P为AB上一动点(P不与A、B重合)，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。(1)求证：ME=MF，ME⊥MF;
(2)如点P移动至AB的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论?请予以证明。
6.已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。
7、等边三角形ABC和等边三角形DEF，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN
8、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.
角平分线怎么画
材料：圆规、纸张、尺子、铅笔。
1、首先准备好下图的工具，圆规和尺子是必不可少的`。
2、在纸上随便画一个角AOB。
3、用圆规以O为原点，任意距离为半径，在纸上画弧，与角AOB相交于点C和点D。
4、先以点C为原点，CD为半径画圆弧；再以点D为原点，DC为半径画圆弧，两圆弧相交于点E。
5、连接OE，OE就是叫AOB的角平分线了。
角平分线的性质
1、角平分线可以得到两个相等的角。
2、角平分线上的点到角两边的距离相等。
3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4、三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
因此根据直线公理。
证明：已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB
证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：
OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB
方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。
3.作射线OP。
射线OP即为所求。
证明：连接PM,PN在△POM和△PON中
∵OM=ON,PM=PN,PO=PO
∴△POM≌△PON(SSS)
∴∠POM=∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有很多种。
方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD;
2.连接CN与DM，相交于P;
3.作射线OP。
射线OP即为所求。
1.在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就是这个角的平分线。
2.在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3.两个角有一条公共边，且相等。
定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
在三角形中的性质。
1.三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。
2.三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。
证明：作CE∥AD交BA延长线于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC
角平分线的性质教学反思
角平分线的性质一节内容原本只是关于角平分线上的点到角的两边的距离相等这个定理。但在人教版教材中则是先通过一个平分角的简单学具进行引入，再来学习角平分线的画法的尺规作图，而后是角平分线性质的内容。教材内容给人一种拼凑、零散的感觉。
在授完《角平分线的性质（1）》内容后，在回顾本节课的教学环节上，我深刻查觉到自己的不足，故作此反思。
1、在授课开始，没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用。并且没有在尺规作图后将平分角的`学具与角平分线的画法的关系两相对照。
2、在授课过程中，我对学生的能力有些低估，表现在整个教学过程中始终大包大揽，没有放手让学生自主合作，在教学中总是以我在讲为主，没有培养学生的能力。
3、对课堂所用时间把握不够准确，由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间，当然这一环节时间的浪费与我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的，以至于在后面所准备的习题练习时间比较紧迫，感觉这节课不够完整。再就是课堂上安排的内容过多，也是导致前面所提问题的原因。这也使我注意到在授课内容的安排上不应死板教条，而应根据内容和学生情况进行更合理的配置。
通过这节课的反思我深刻的意识到：自己在利用学案教学的教学模式的教学中还有太多的不足，以后要在实际教学中多注意和多反思，更好地培养学生的合作精神与个人能力。
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