下面就是小编给大家带来的中学数学教科书中的开放题（共含6篇），希望能帮助到大家!同时，但愿您也能像本文投稿人“iwil”一样，积极向本站投稿分享好文章。
中学数学教科书中的开放题
在较长一段时期中，“问题解决”成为我国数学教育界的重要议题，现在把议题转移到开放题上来，可以认为是“问题解决”研究的进一步深入，本文拟对开放题的含义以及怎样在中学数学教科书中引入开放题的问题作初步探讨。一、什么是开放题
在对开放题的讨论中，对于什么是开放题，大家的意见尚不一致，因而有必要对开放题的含义作一个规定。此外，有的同仁把某些探索性问题也归入开放题，虽然对探索题的研究具有公认的意义，但在讨论与研究开放题的时候，有必要把这两者加以区别。
以下是一些学者关于什么是开放题的论述：
(1)答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；
(2)开放性题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；
(3)有多种正确答案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；
(4)答案不唯一的问题是开放性的问题；
(5)具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放性问题；
(6)问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余。
考察以上论述，关于开放题的条件的描述有：不完备；可以多余；多余需选择，不足需补充；等等。关于开放题的答案（结论、解法）的描述有：不固定；有多种；不唯一；不必唯一；不确定；不必有解；等等。
从上可知，虽然对问题条件的描述多种多样，但对答案的看法比较一致：答案不唯一。笔者认为：(1)问题的“结论”是在问题系统内部相对于问题的“条件”而言的，不能与问题的“答案”概念混淆，问题的“答案（解法）”是相对于整个问题而言的；(2)对于问题的条件不作太多的限定，对问题的答案给以宽松的环境，但要求是多样化的，丰富多彩的，这正是开放的含义所在。所以，笔者认为对开放题可以作出以下简明的描述：答案不唯一的问题称为开放题。开放题的一个显著特征是：答案的多样性（多层次性）。
一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何。例如，对n个人两两握手共握多少次的问题，在学生学习组合知识以前解法很多，是一个开放题，在学习组合知识之后则是一个封闭题。此外，对一个开放题来说，解决问题的.方法的种数和解决问题的思维水平层次是两个基本的指标。因而，可以引入问题的开放度(OpeningDegree)概念：OD（相对于知识的时机，方法≥x，水平≥y）。上面，“相对于知识的时机”是我们对这个问题的一个注解，说明我们何时用这个问题，可指明是在学生学习了某一知识内容之前，还是学生学习了某一知识内容之后，或者是在某一个学习阶段，例如在初中一年级、整个高中阶段等；“方法≥x”是对解决问题的方法种数的描述；“水平≥y”是对解决问题的思维水平层次的描述。
在一些讨论中常常把开放题与探索题混同起来，可能会对开放题的研究带来影响，有必要把两者予以区别。一般地，探索题是指条件完备，结论未给出而需要学生进行探索，猜想并加以证明的问题。当然，开放题集合与探索题集合的交集应该是非空的。
二、教科书中的开放题
教科书是教师组织教学，学生学习的主要依据。教科书中引入开放题，将对教学产生较大影响，并有力地加快在教学中引入开放题的进程。在由我室编写的《九年义务教育三年制初级中学教科书》、《义务教育初中数学实验课本》、《高级中学试验课本》、《全日制普通高级中学教科书（试验本）》等教科书中，都已编入了一些开放题，但形式比较单一，数量也偏少。我们要在认真研究的基础上积极而慎重地引入开放题，以促进中学数学开放题教学。怎样在教科书中引入开放题是一个重要问题，希望大家一起来讨论研究。
中学数学教科书中的开放题
在较长一段时期中，“问题解决”成为我国数学教育（www.35d1.com－上网第一站35d1教育网）界的重要议题，现在把议题转移到开放题上来，可以认为是“问题解决”研究的进一步深入，本文拟对开放题的含义以及怎样在中学数学教科书中引入开放题的问题作初步探讨。一、什么是开放题
在对开放题的讨论中，对于什么是开放题，大家的意见尚不一致，因而有必要对开放题的含义作一个规定。此外，有的同仁把某些探索性问题也归入开放题，虽然对探索题的研究具有公认的意义，但在讨论与研究开放题的时候，有必要把这两者加以区别。
以下是一些学者关于什么是开放题的论述：
(1)答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；
(2)开放性题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；
(3)有多种正确答案的.问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；
(4)答案不唯一的问题是开放性的问题；
(5)具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放性问题；
(6)问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余。
考察以上论述，关于开放题的条件的描述有：不完备；可以多余；多余需选择，不足需补充；等等。关于开放题的答案（结论、解法）的描述有：不固定；有多种；不唯一；不必唯一；不确定；不必有解；等等。
从上可知，虽然对问题条件的描述多种多样，但对答案的看法比较一致：答案不唯一。笔者认为：(1)问题的“结论”是在问题系统内部相对于问题的“条件”而言的，不能与问题的“答案”概念混淆，问题的“答案（解法）”是相对于整个问题而言的；(2)对于问题的条件不作太多的限定，对问题的答案给以宽松的环境，但要求是多样化的，丰富多彩的，这正是开放的含义所在。所以，笔者认为对开放题可以作出以下简明的描述：答案不唯一的问题称为开放题。开放题的一个显著特征是：答案的多样性（多层次性）。
一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何。例如，对n个人两两握手共握多少次的问题，在学生学习组合知识以前解法很多，是一个开放题，在学习组合知识之后则是一个封闭题。此外，对一个开放题来说，解决问题的方法的种数和解决问题的思维水平层次是两个基本的指标。因而，可以引入问题的开放度(OpeningDegree)概念：OD（相对于知识的时机，方法≥x，水平≥y）。上面，“相对于知识的时机”是我们对这个问题的一个注解，说明我们何时用这个问题，可指明是在学生学习了某一知识内容之前，还是学生学习了某一知识内容之后，或者是在某一个学习阶段，例如在初中一年级、整个高中阶段等；“方法≥x”是对解决问题的方法种数的描述；“水平≥y”是对解决问题的思维水平层次的描述。
在一些讨论中常常把开放题与探索题混同起来，可能会对开放题的研究带来影响，有必要把两者予以区别。一般地，探索题是指条件完备，结论未给出而需要学生进行探索，猜想并加以证明的问题。当然，开放题集合与探索题集合的交集应该是非空的。
二、教科书中的开放题
教科书是教师组织教学，学生学习的主要依据。教科书中引入开放题，将对教学产生较大影响，并有力地加快在教学中引入开放题的进程。在由我室编写的《九年义务教育（www.35d1.com－上网第一站35d1教育网）三年制初级中学教科书》、《义务教育（www.35d1.com－上网第一站35d1教育网）初中数学实验课本》、《高级
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对中学数学教学的开放
新课程标准中指出,初中数学教育要“逐步形成数学创新意识”,并指出“初中数学中培养的'创新意识主要是指:对自然界和社会中的现象具有好奇心,不断追求新知识,独立思考,会从数学的角度发现和提出问题,并用数学方法加以探索、研究和解决实际生活中的问题”.随着新课程标准的实施,探讨如何切实提高数学的开放性教学,全面提高教学质量,具有十分重要的意义,笔者就此谈些自己的认识.
作 者：沈贵梅 作者单位：江苏省如皋市建设初级中学,226521 刊 名：新校园（下旬刊） 英文刊名：CONTEMPORARY EDUCATION RESEARCH 年，卷(期)： “”(12) 分类号：G63 关键词：高中数学教科书中应用问题初探
高中数学教科书中应用问题初探课程教材研究所 张劲松
－、数学及其应用
数学是研究空间形式和数量关系的科学。当代数学能够处理科学中的数据和观测资料，进行推理、演绎、证明，可提供自然现象、社会系统的数学模型。
数学的特点：高度抽象性、逻辑严密性、应用的广泛性。
随着社会的发展，数学的地位日益提高，应用越来越广泛。它是人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学的基础；它在培养思维品质，提高思维水平方面发挥着特有的作用；它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。
1959年5月，华罗庚教授在《人民日报》发表了《大哉数学之为用》一文，精彩地叙述数学在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁”等各方面的应用；进入九十年代，中国科学院数学物理学部在《今日数学及其应用》（王梓坤执笔）一文中，对数学及其应用进行了酣畅淋漓的论述。正如该文的第一句话：“本文的目的是双重的和互补的：一是论述数学在国富民强中的重要意义；二是通过近年来数学在我国的许多应用来证实这种意义的真实性，从而希望提高人们对数学的认识。”
数学科学的发展对数学课程教材的建设起着至关重要的作用。
二、数学课程改革中的“应用”
近年来，数学教育界内的“问题解决”、数学建模等无一例外地把应用提高到一个非常高的程度，因此，正确理解“应用”就成为一个非常重要的问题。
对于“问题解决”、“大众数学”、“数学建模”、“应用”等等，对于使数学课程“贴近”实际，历史上已作了许多讨论。事实上，理论与实践相结合是数学课程教材改革的重要目标之一。在两千多年前，数学教育就存在着着眼于实用和训练思维的两大目标。今天数学的内容大大地丰富和深化了，实际应用和训练思维的涵义也大大拓展了。归根到底，数学教育的目的除思想教育方针之外，仍然是这两个目标的结合。数学就自身发展来说，始终是理论与实践密切结合一门科学。
综观数学教育史，我们不难发现，数学教学总是具有很强职业成分，只是随着中学和大学的学院化，数学和现实的联系才被忽视，但是如何人教“应用”和运用“现实生活”例子为数学教学服务仍有待研究。应用在数学教学中可以有许多解释，有些人为的，非现实生活的例子，也可能有重要的教育价值，能养成学生应用数学的技能，不能一概否定；还有一类传统的例子是过分“现实”的，是直接从职业中拿出来的，如储蓄、税收等，这就有一个谁的“现实”的问题。这些例子只是社会的一些特殊需要，不足取。就算排除了这类实例，还会有多种形式体现“应用”。比如，守门员如何占位才能缩小对手的射门角度？这些问题把数学与实际情境联系在一起，对一些学生有吸引力，但并不是真用数学解决问题，没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置。数学的应用主要不在于这样的“应用”，更重要的是，这种“联系”不可能总是结合学生的“现实”的，正如卡尔松说的“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的，在过去是现实的，现在不一定再是现实的了”。可见要使课程有“应用”性是既复杂，又有待长期解决的问题。
前面说的都是用来为数学教学服务的“现实”例子，当数学为现实服务时，情况就完全不同了，它是完全不同的一种例子，它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的社会现实问题，这种问题不仅有社会意义，而且不局限于单一的数学，还要用到学生多方面的知识。
著名数学教育家弗兰登塔尔曾对数学教学表示了忧虑，他认为，数学教学应讲授从丰富的现实情境中抽象出这些结构的数学发现过程。学习是指形成这种系统化的数学活动过程，而不是系统化的最后结果。因为系统化的最后结果是一个系统，是一个漂亮的.封闭系统，甚至封闭到没有入口和出口……学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学，而是作为一项人类活动的数学，即从现实生活出发的数学化过程。如果需要，也可以包括从数学本身出发的数学化过程。学生应该形成一个相对开放的系统，至少是一个既有入口又有出口的封闭系统。
“问题解决”恰恰反映了“入口”和“出口”问题，即从现实情景（“入口”）出发，这里所说的现实情景，既包括客观的世界和现实的生活，又包括学生的数学现实。事实上，这是应用的一个非常重要的方面。所谓“出口”，是指数学知识应用到现实情景中去。我们所说的应用，不仅仅是解决出口问题，更重要的是解决入口问题，即从现实情景引入数学，让学生随时随地都感到数学就在我身边。
我国的一些数学教育工作者提出的“掐头去尾烧中段”与“入口”和“出口” 的观点可以说不谋而和，他们都强调数学学习的一个完整过程，要了解数学的来龙去脉。
强调数学应用现已成为各国数学课程教材改革的共同特点，在数学课程、教科书中更加重视应用。在处理数学内容时，更多地遵循“实际问题→数学概念→实际问题”这个模式来展开。许多教科书面向现实，数学知识的引入以阅读材料的方式出现。这些材料内容广泛，形式各异，图文并茂，有生动具体的现实问题，有让人着迷的数学史，有发人深思的悬念，也有尚未解决的各种实际问题，还有现代数学及其应用的最新发展等。教科书中每节后，还安排大量与现实世界结合并带有挑战性的问题，供学生讨论、思考和实践，并对每一问题在题首注明数学知识被应用的领域（例如天文、建筑、管理、经济、物理、化学等），让学生充分感受数学与其他学科和科学之间的联系。
总之，数学教育改革中对于应让学生认识有关知识的来龙去脉已形成共识。
《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》（以下简称《大纲》）进一步突出了理论联系实际，加强应用。“培养解决实际问题的能力，并逐步形成数学创新意识”是高中数学的教目的之一。
解决实际问题的能力是指：会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题；会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识。
数学创新意识主要是指：对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，加以探索和研究。
《大纲》在“教学内容和目标”“教学中需注意的几个问题”等处，对应用数学知识解决实际问题只做了原则性的说明。《大纲》中规定的教学内容和教学要求由教科书、教师的教学、学生的学习等多种渠道来体现，教科书如何更好地贯彻大纲中的“应用”，对编者来说，有一个再发现、再创造的过程。
我们认为，数学应用不仅包括人们常讲的用数学的结论，用数学的方法，用数学的思想，还包括用数学的语言，用数学的观念，用数学的精神。因此，强调数学课程教材中的应用，并不是仅仅通过“增加一些有用的数学内容”，，“在例题和习题中增加一些应用题”，而是要在教材设计、编排体系等方面做更深层次的考虑。
三、高中数学教科书中的“应用”
下面以《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第一册（上）为例》，对“应用”进行具体的分析：
1．教学内容的选取
知识点：函数的应用举例。实习作业。等差数列及其通项公式。等差数列前n项和公式。等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。
研究性课题：数列在分期付款中的应用
教学目标：
能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
实习作业已函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。
理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
毋庸讳言，现在的数学教科书主要是以数学知识为中心，进行教材的设计；数学的组织基本上以数学学科的内在逻辑顺序为主线。
2．教学内容的处理
（1） 正文：“2.2函数一节中”
例5 在国内投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g 付邮资160分，依此类推，试建立平信应付邮资（单位：分）的函数关系，并画出图象。
这是几乎每个人在现实生活中都会遇到的问题，也即现实情境（问题情境），建立函数关系式（数学模型）：
当邮寄35g的外埠平信时，从图象中可以看出，应付160分的邮资（应用到现实情境中去）。
这是一个比较简单的“数学建模”过程：问题情境→建立模型→解释与应用。可以说，在一定程度上，“数学建模”使应用更现实化。学生看到数学如何才能应用到真正的“现实生活”问题中，并且渴望获得进一步学习的动力，会自然地寻找“数学建模”的机会。
在解决实际问题中，“会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识”是应用的一个重要的方面。从上例中可以看出，在建立数学模型的过程中，自然经历自然语言、数学语言（函数关系式）、图形语言（函数图象）相互转化的过程。
(2）阅读材料 自由落体运动的数学模型
该阅读材料结合典型事例，详细地介绍了数学模型的概念、数学模型建立过程，以及利用数学模型方法解决问题的基本步骤。
（3）研究性课题：数列在分期付款中的作用
研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活和其他学科中出现的问题进行研究。充分地体现学生的自主活动和合作活动。研究性课题应以所学的数学知识为基础，并且密切结合生活和生产实际。可以师生自拟课题。提倡教师和
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学生自己提出问题。四、应注意的几个问题
（一）应用的层次性
单就出口而言，有以下几个层次：
1．在数学学科本身的应用。
由于数学学科本身具有逻辑严密的特点，前面知识的学习为学习后面的知识做准备。换句话说，前面的知识要应用到后面知识的学习中。
2．在其他相关学科的应用，特别是物理及工程技术中的应用。
3．应用到现实情境中去
由于高中学生学习的知识毕竟还是有限的，他们用数学知识解决的现实问题，与应用数学家所面临的现实问题相比，充其量是个“准数学问题”，至少是“半数学化”的问题，是一个经过人为加工的“数学半成品”。
4．发现问题、提出问题、分析问题、解决问题这四者之间，能够发现问题、提出问题，这是要求最高的。能够解决已经“数学化”了的问题，对学生来讲，是个技能化的过程。而能够发现问题、提出问题、分析问题则是一个能力问题。
5．数学语言的灵活运用是应用的最高层次，特别是自然语言、数学语言、图形语言的相互转化，以及用数学语言进行交流。
（二）应用与基础知识的关系
对高中学生来讲，掌握数学的基础知识应该是教学的首要目标，应用是以掌握数学知识为前提的。应用不仅仅是目的，更重要的是过程，即我们不仅要使学生树立起数学应用意识，认识到数学的广泛应用性特点和应用价值，具备应用数学解决实际问题的规律性认识和操作性能力，而且还要切切实实让学生在应用数学中掌握基础知识和数学方法，学会使用数学语言，并受到数学文化的熏陶。很难想象，没有扎实的基础知识，谈何应用？
（三）应用与计算机（器）
计算机（器）的普及，为数学的应用提供了先进的计算工具，更便于处理实际数据，使应用问题更加真实，切合实际；良好的演示平台，使数学应用有了广阔的空间，计算机能够把静态的变成动态的，把抽象的东西具体化，直观化，使人们的思维能够得到一定程度的延伸。
（四）从数学学习和数学活动看“应用”
数学不同于其他自然科学，它具有逐级抽象的特点。从客观实际、现实世界中的抽象只是数学的低级抽象；脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究的对象是数学的高级抽象。高级抽象是在低级抽象基础上的进一步抽象，它的研究对象是一种形式化的思想材料，是经过人加工了的思想，是人对自然界的概括和认识。数学的逐级抽象性的特点，说明了学生学习过程中思维发展的不同阶段和水平，因而数学的学习活动也是分层次的。学习的最低层次是数学的组织：通过学生自己的猜测、探索，从现实问题情景中提炼数学问题，发现问题及其规律，对问题有整体理解，这是学生数学地组织经验材料的活动层次；学习的第二个层次是将数学问题组织成原理，并用数学语言模式去描绘原理。即通过对脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究，构筑抽象理论意义的数学原理。这是学生组织经验领域的活动，是进一步抽象概括数学材料并提炼数学原理的过程；第三个层次是数学原理的验证、推广阶段。如果说前两个层次是“发现”原理的过程，那么这个层次就是验证推广的阶段。验证的过程实际是将“发展”的结果演绎推理的形式系统化、逻辑化的过程；最后一个层次是反省上述学习过程，将抽象结果应用于实际，用以指导现实生活。此层次的反省活动，是对前述认识过程的进一步认识，是对前述学习过程的反思，对整个学习过程起到调节和监控作用。斯托利亚尔认为，数学活动可分为三个阶段：经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。这三个阶段构成了学生学习活动的完整过程，忽视甚至丢弃哪个阶段的做法都是不对的。学生亲自感受和经历“发现”数学的过程，也就是数学再创造的过程，唯有以再创造的方式进行数学学习，将知识的发生发展过程理清，才能在数学上向趋向成熟的下一阶段迈进。传统的数学课程只是按照以形式化了的现成的数学规则去操作数学。现在的数学课程强调了经验材料的数学组织和数学的应用。
“应用”是一个非常大的话题，不但是课程教材改革的问题，而且还涉及教学、学习、评价（考试）等等。笔者认为，“应用”最主要的是教学思想的问题，即在教学中培养学生的应用意识，从“出口”着眼，从“入口”着手。课程教材和评价（考试）只是培养学生应用意识过程的一个必不可少的环节，更重要的是要在平时的教学中去实现。
摘自中学数学
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小升初重点中学数学测试真题
一、选择题(每题4分)。
1.圆有( )条对称轴.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 无数
2. 一个真分数，把它的分子和分母同时加上同一个不为零的自然数，所得到的新分数与原分数比较大小是( ).
A.原分数大 B.原分数小 C. 大小不变 D.无法确定
3. 5米增加它的 后，再减少 米后，结果是( )米。
A. B. C. 5 D. 7
4. 郑开马拉松全程约为42千米，已知地图上量得郑开马拉松全程距离为2.1厘米，这张地图的比例尺为( )。
A.1:0 B.1:200000 C.1:2000000 D.1：20000000
5. 甲把自己的钱的 给乙以后，甲、乙两人钱数相等，原来乙钱数占甲的( )。
A.50% B.40% C.200% D.100%
二、填空题(每题5分)。
6. 由1、2、3这三个数字能组成的三位数一共有 个，它们的和是 。
7. 两个质数的倒数相加的.和的分子是31，和的分母是 。
8. 4时10分，时针和分针的夹角是 度。
9. 一个比例的两个内项互为倒数，它的一个外项是0.8，另一个外项是 。
10. 2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球，买排球、足球、网球各1个的价钱可以买1个篮球，那么，买1个篮球的价钱可以买 个网球。
三、计算题(11题4分，12、13、14题每题5分)。
11. 12.
13. 14. 3.14×43+7.2×31.4-150×0.314
四、解答题(第15题7分，第16题7分，第17题10分，第18题12分)
15. 求阴影部分面积.
16. 一个圆柱体，底面半径是7厘米，表面积是1406.72平方厘米.这个圆柱的高是多少?
17. 将一根铁丝截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5米。每段长8米的总长度比每段长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米?(列方程解答)
区运送急救物资，如果行进速度比原计划提高 ，就可以比预定时间早到20分钟;如果按原速行驶72千米，再将速度提高 ，就可以比预定时间早到30分钟。求部队营地到地震灾区的距离。
《中学数学反思性教学研究》结题报告
一、问题的提出
1.教育改革的需要
自20世纪80年代以来，“反思”(reflection)一词在西方发达国家被人们越来越多的加以引用，并很快影响到世界各国的教学。我国自20世纪90年代引入“反思性教学”以来，也进行了一系列的理论与实践的研究。各国的教育改革的大量实践证明：教育改革的成功必须有教师的积极参与与拥护，必须使教师在教学与课程方面拥有更多的自主权与责任，而反思性教学认为教师“能提出并解决与他们教育实践有关的问题”。而我区自2003年秋开始实施九年义务教育国家课程标准，新课程的实施需要教师不断反思自己的教学行为是否体现课标理念，是否有利学生的发展。
2.教师成长的需要
随着教师专业化的研究的深入，各国都在改革和寻找教师成长的模式。学术界倾向于把教师的主体的自身实践活动作为教师成长的根本动力[1]。在教师的实践活动中，反思被广泛地看作教师职业发展的决定性因素。美国著名的学者波斯纳提出教师的成长公式是：教师成长=教学过程+反思;我国著名的心理学家林崇德也提出“优秀教师=教学过程+反思”的公式。正如肖川博士所说：一个有事业心和使命感的教师，理当作为教育的探索者，其探索的最佳门径就是从自我反思开始[2]。随着广州市城市中心南拓战略计划的实施，我区城市化建设进程加快，我区中学生每年以2千多人的速度增长，与此同时，教师的数量也急剧增加。一方面大量师范院校毕业生进入我区从教，他们教学经验欠缺，教育理论与教学实践脱接，反思性教学能为他们快速成长找到一条捷径;另一方面从外地引进的一批经验丰富的教学能手，毕竟不熟悉广州学生的学情，反思性教学能使他们尽快适应广州学生的教学。同时即便是老教师也需要再提高，教师只有通过不断反思，才能使自己从“教书匠”逐步成长为教学的“研究者”。
3.学生发展的需要
教育必须以学生的发展为本，因此《基础教育课程改革纲要(试行)》倡导学生自主学习、合作学习与探究学习。教育所关注的是到理想个体的生成与发展，它有这样两个相互制约、相互联结、相互规定、对立统一的基本观点，那就是：价值引导和自主构建[3]。行为主义心理学家认为：自主学习包括三个子过程：自我监控，自我指导，自我强化，这三个子过程都要求学生有较强的反思力。反思性教学的一个重要特征是“两个‘学会’加速师生共同发展”，反思性教学能提高教学效益。
4.目前我国反思性教学研究的不足之处
十多年来，研究者对反思性教学进行了许多有益的探索，但我国的研究还存在以下一些不足之处：①考虑老师因素多，考虑学生因素少;②理论探讨多，实践探讨少;③研究通用型反思性教学多，研究具体教学情境下反思性教学少;④理论与实践研究“两张皮”现象严重[4]。
二、实验假说及研究目的
每位教师通过经常性的教学反思能提高自己的教学水平与业务能力，促进教师专业化发展。每位学生通过不断反思自己的学习不不断改进学习方法才能使成绩得到较大提高。
1.课题研究的目的：一是对全区进行本课题研究的教师进行反思性教学与发展性教学评价的理论培训, 构建反思性教学的框架，把反思性教学作为重要的教育理念始终贯穿于教师的教学行为之中;二是收集整理教师与学生进行反思性教学的个案研究，积累了丰富的反思性教学评价的实践材料。
2.成果形式：①出版反思性教学论文、个案集，为我区新一轮的反思性教学提供理论指导与借鉴。②通过反思性教学的实施，提高教师对自己的教和学生学习的自我反思的意识，从而提高教学质量。
三、理论依据
1.《基础教育课程改革纲要(试行)》倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的'能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。《普通高中数学课程标准(实验)》提出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。而主动参与、自主探索、合作交流等都离不开进行反思性教学。《纲要》和《标准》为反思性教学课题研究提供了政策法规依据。
2.国内外反思性教学的基本理论是本课题研究的理论依据。熊川武教授采撷众说之长提出了反思性教学的定义：教学主体借助行动研究不断研究与解决自身和教学目的,以及教学工具等方面的问题，将“学会教学(Learning how to teach)”与“学会学习(Learning how to lean)”统一起来，努力提升教学实践的合理性 而使自己成为学者型教师的过程[4]。美国当代教育家、哲学家唐纳德?萧恩(Donald Schon)在他广为引用的著作《反思性实践者》中,提出了反思实践和反思实践者的思想，将反思分为“对行动的反思”和“在行动中反思”两种类型。所有这些都是指导我们进行课题研究的理论基础。
3.中、外数学教育的基本理论。自20世纪初国际数学教育委员会(ICMI)开展工作以来，不少数学家，心理学家，教育科学家和教育工作者在充分认识和理解教学理论和数学教学这两个领域的内涵实质的基础上，形成了一些有影响的数学教育理论：“数学现实”的原则;“数学化”的思想;“再创造”原理;建构主义的教学理论;中国的“双基”教学理论。“双基”教学理论指出：“双基”是指“基本知识和基本技能”，“双基教学”是指“在强调掌握双基的基础上进行发展与创新”。中国数学重视“双基”，但不是等于只抓“双基”，这也为我们进行本课题研究提供了理论基础。
四、研究内容
1.如何引导教师进行自我反思的内容、策略(包括同行进行交流激起自身的反思);
2.如何实施反思性教学──在行动中研究;
3.中学生反思性学习的内容与形式;
4.反思性教学评价的基本原则;
五、研究的主要原则与方法
(一)研究原则
1.方向目的性原则
开展反思性教学研究，其目的是立足教学实际创造性地解决问题，教师学会教学，学生学会学习，在探索中提升教师教学实践合理性与倡导学生自主学习。中学数学反思性教学必须合目的性与合规律性。
2.理论与实践相结合的原则
新课标的教育理念与教学实践相结合，反思性教学理论与教学实践相结合。
3.“对行动的反思”与“在行动中反思”相结合的原则
反思有两种时间框架，即“对行动的反思”和“在行动中反思”。前者发生在行动前或行动后，后者发生在行动中。在反思性教学研究中，要将两者结合起来研究。
4.个体反思与集体反思相结合的原则
个体反思可使教师从经验型教学走向研究型教学，更新其固守的经验和模式，不断提高教学水平。集体反思是指与同事一起观察教育实践(自己的或同事的),或与他们就实践中的问题进行对话、讨论,是一种合作—互动式的研究，即使出现认识上的冲突,也是一个智慧碰撞和切磋学习的机会。
(二)研究的主要方法有：
文献法;行动研究;访谈法;调查法;个案研究法。
六、结果与分析
1. 中学数学反思性教学的类型
根据萧恩的两种反思类型说，反思可能发生在行动前或行动后,即 “对行动的反思”。在教学中,“对行动的反思”发生在课前对课堂教学的思考和计划上,或者发生在课后对课堂发生的一切的思考中。同样，反思也可能发生在行动过程中,当实践工作者在参与改进的努力时，通常也会有与情境的反思性对话,也就是说,实践者试图提出和解决当时的问题。在教学时,我们经常会碰到出乎意料的反应和知觉,我们总是要考虑者既对行动也在行动过程中反思，这就是“在行动中的反思”[6]。在反思性教学中,教学的主体 ──教师和学生都可以成为反思的实践者。
(1)中学数学反思性教学中“对行动的反思”
中学数学反思性教学“对行动的反思”可从如下方面进行：
①反思数学观与数学教学观
是静态的，片面的、机械反映论的数学观，还是动态的，辩正的模式论的数学观;是传统的数学教学观还是现代的数学教学观。是否符合新课程的教学理念。
②反思数学教学设计
教学设计反思不是一般的回顾教学设计情况，而是深究先前的教学设计中存在的问题，对不合理的行为和思维方式进行变革，重新设计教学方案。它包括以下方面：对教学目标的反思，对教学内容的反思，对教学方法的反思。
③反思数学课堂教学过程
数学课堂教学过程包括教师、学生、教材三个要素，它们之间相互联系、相互影响、相互制约。反思数学课堂教学过程，就是要深究教学过程中诸因素之间的相互关系、相互作用的过程中存在的问题，并对此提出修正意见，以提高教学质量和保证教学任务的完成。它包括两个方面：反思数学教学过程中师生合作与情感交流;反思数学教学过程中的课堂提问。
④反思教学评价
教学评价是“既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的过程;既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。在数学教育中，评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。” [7]
(2)中学数学反思性教学中“在行动中的反思”
在教学中进行“在行动中的反思”，关键就是“以学定教”，即以学生的学习状态确定教师的教学行为。如何进行“在行动中的反思”?我们研究的结果是：
首先，要“接触学习者真实的言行”。在探索的过程中要充分暴露教师与学生的思维过程(包括成功的体验与失败的教训)，暴露教材编写者的意图，教材的先后序列关系与整体结构。
其次，要重视行动中的“不确定地带”，给它留有充足的空间。
最后，是适度地进行“即兴创作”──教师与学生同时面对新问题，共同探索，力求解决问题。
善于“在行动中反思”的教师,在教育教学活动中,能够密切关注学习者的反应和参与程度,对自己教育过程、教育方法和教育行为等随时保持有意识的认识和反省,能够敏感地意识到教育活动和教育行为存在的问题,并迅速分析所出现问题的原因及可能的解决方法与策略。
以下是课堂教学中“在行动中反思”的教师的机智处理及学生的精彩表现的几个片断：
(1)对数函数第一节课中例题：比较log67与log76的大小
问题提出后，学生异口同声“用计算器”。教师迟疑了片刻，立即要学生用计算器计算，计算完后学生发现两个数中，一个比1大，一个比1小，注意到这个事实后，就只要比较它们分别与1的大小即可。
学生提出的方法(学生的即兴创作)是教师始料不及的，教师依据学生提出的问题稍加转换(教师的即兴创作)，使得利用中间值比较大小的方法思路自然，这样的教学不是在灌输，而是在点燃。
(2)简单的线性规划第一节课中，师生刚用几何画板归纳出规律：一元二次不等式在直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域，马上有位学生举手发言，说想到了以前一个问题的简单解答方法。
问题：已知两点的坐标是，过点的直线和线段相交， 求直线斜率的取值范围。
这位学生认为可用刚学的知识转化为两点在直线的异侧即可，教师请他呈述和板演，他大约花了15分钟时间完成。他说完后，课堂上响起了热烈的掌声。
虽然这节课由于他的“即兴创作”使得教师的教学计划没有完成，但是学生的学习任务完成得很好，这样的精彩片断是教师在课前无法设计好的。
由这两个片断可以看出，“在行动中的反思”，既可是教师的“即兴创作”，也可是学生的“即兴创作”。要完成这样的“即兴创作”，首先必须建立在平等的师生关系上和民主的课堂教学氛围之中，其次是教师要给所有学生有暴露自己思想的时间和空间。
2. 中学数学教师反思性教学的基本途径
(1)个体反思：
教学后记
教育家苏霍姆林斯基曾经建议：“每一位教师都来写教育日记，写随笔和记录，这些记录是思考及创造的源泉，是无价之宝。” 教师在自己的教学过程中或教学结束之后，应对自己的教学进行总结反思，这种反思可以从以下几个方面入手：记教学中得失，并对得失进行剖析探索，找到教育心理学上的理论依据，积累经验，吸取教训;记“智慧的火花”，包括教学机智与灵感，学生创新的见解，好的思想方法等，都可以作为教学材料的养分及教学资源，使以后的课堂教学得以补充和完善;记再教设计，通过反思，对教学的得失有清晰的理性的认识，并写出简要的再设计，为再教时提供重要的参考。。
我区有老师参加此课题的番禺中学，禺山高中等学校规定，新参加工作不满三年的教师，每节课都要写教学后记，其他教师每半个学期要写教学反思。
实践证明：这些学校的青年教师成长较快。
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