与斐波那契数列的恒等式的组合法证明

下面是小编帮大家整理的与斐波那契数列的恒等式的组合法证明（共含7篇），希望对大家有所帮助。同时，但愿您也能像本文投稿人“接入号”一样，积极向本站投稿分享好文章。

篇1：与斐波那契数列的恒等式的组合法证明

与斐波那契数列有关的恒等式的组合法证明

与斐波那契数列有关的`恒等式具有美丽的外表,这种美自然激发我们去追求导致美的原因,希望找到美的理由或推导出美.本文将从组合的角度去论证与斐波那契数列有关的恒等式,正是对美的探索与追求.

作 者：姜洋 孙朝仁  作者单位：姜洋(江苏省连云港市新海实验中学,22)

孙朝仁(江苏省连云港市教育局教研室,222004)

刊 名：数学通报  PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 48(11) 分类号：O1 关键词： 

篇2：斐波那契数列

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

目录定义通项公式与黄金分割特性定义

斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 特别指出：0是第0项，不是第1项。 这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。12，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。

通项公式

递推公式

斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式： 显然这是一个线性递推数列。

通项公式

(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）

通项公式的推导

方法一：利用特征方程（线性代数解法） 线性递推数列的特征方程为： 解得 则 解得： 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 设常数r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 则r+s=1， -rs=1。 n≥3时，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 …… F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。 联立以上n-2个式子，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。 ∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。 上式可化简得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 （这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的`和）。 =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。 =(s^n - r^n)/(s-r）。 r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。 解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 得α+β=1。 αβ=-1。 构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 所以。 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 由式1，式2，可得。 an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 方法四：母函数法。 考察函数Sn（x）=F1 x+F2 x?+F3 x?+……+Fn x^n……………………………① 则 xSn（x）=F1 x?+F2 x?+……+F{n1} x^n+Fn x^(n+1)……………………② x?Sn（x）=F1 x?+……+F{n2} x^n+F{n1} x^(n+1)+Fn x^(n+2)………③ ①②③得（1xx?）Sn（x）=xF{n+1} x^(n+1)Fn x^(n+2)……④ 令1xx?=0（即x=或x=） 于是，④式右边=0即xF{n+1} x^(n+1)Fn x^(n+2)=0 移项，两边同除以x^(n+1)，得到…………………………⑤ 将x的两个值分别代入⑤，并作差，得到（x1x2）Fn= 代入具体数值得到

与黄金分割

关系

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618） 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 越到后面，这些比值越接近黄金比.

证明

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。 两边同时除以a[n+1]得到： a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。 若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x， 则lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。 所以x=1+1/x。 即x²=x+1。 所以极限是黄金分割比..

特性

平方与前后项

从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。 （注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

与集合子集

斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

求和

证明： 当n=0时，有f(0) = f(0 + 2) - 1 = f(2) - 1,显然成立。 假设当n=k(k>=0且k为整数)时，等式成立，则有 f(0)+f(1)+f(2)+....+f(k)=f(k+2)-1，两边同时加上f(k+1),得 f(0)+f(1)+f(2)+....+f(k)+f(k+1)=f(k+2)+f(k+1)-1=f(k+3)-1 则此时n=k+1时，等式成立 综上，等式成立

隔项关系

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]

两倍项关系

f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1) 与组合数关系

篇3：神奇的斐波那契数列-记叙文

神奇的斐波那契数列-记叙文1000字

自从我认识了黄金比，得知黄金比在生活中很常见，于是我又进行了课外拓展，了解了斐波那契数列。

斐波那契数列，顾名思义是由斐波那契发现的。指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……此数列的特点是:这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。用关系式来表达就是:n(数列的第n个数，n≥3)=n-1+n-2。此外，还有一个特点，那就是从第二项开始。每个奇数项的平方比前后两个项的积少1;每个偶数项的平方比前后两个项相乘的积多1。斐波那契数列最大的特点就是从第三个项开始，前面两个项的和与后面一个项的比值无限接近于黄金比(0.6180339)。

这个数列在生活中很常见，例如葵花、鹦鹉螺等等都有斐波那契数列的影子。最神奇的.是，这个数列与我国古代数学家杨辉发现的杨辉三角有极大的相连关系。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都起到很重要的作用。

诸如大家平时耳熟能详的断臂维纳斯，人民大会堂。古埃及的一些建筑，到处都有斐波那契数列的身影。数列不仅增加建筑体的美观形象，还增加了建筑体的质量。斐波那契数列还有一个别称，那就是兔子数列。兔子的繁殖与斐波那契数列十分相似。在一些专门饲养兔子的农厂掌握斐波那契数列，可以更好的掌握兔子数量的增减，从而达到节省饲料的目的。

斐波那契数列在我们平时的生活中还有什么用处呢?答案是肯定有的，于是我就想到了在表演才艺中是不是也可以用到?例如表演魔术：在一张纸上并排画11个小方格。让人背对着自己(确保自己看不到他在纸上写什么)，在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第三个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让对方一直算出第10个方格里的数。现在，叫对方报出第10个方格里的数，自己只需要在计算器上按几个键，便能说出第11个方格里的数应该是多少。对方会非常惊奇地发现，把第11个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样!这就奇怪了，在不知道头两个数是多少的情况下，只知道第10个数的大小，不知道第9个数的大小，怎么能猜对第11个数的值呢?其实只需要将第十个数除以0.618......就可以得到正确的结果，假如第十个数是249，则可以将249÷0.618......≈403，最后就会发现，结果是一模一样。

斐波那契数列仅仅是数学海洋一个缩影，知识是来源于生活，从而又服务于生活。合理的利用，才能将知识的作用与力量发挥到极致!

篇4：有趣的斐波那契数列日记200字

有趣的斐波那契数列日记200字

今天，我做完了暑假作业，看了一下《超有趣的数学魔法》，有一篇讲：生活在12世纪的数学家斐波那契曾在一本书中列出下面这道题：通常兔子出生两个月后就会生兔宝宝，一对兔子每个月生一对小兔子，那么一年后会有多少只兔子呢？原来，他把每个月兔子的数目罗列出来：1对，1对，2对，3对，5对，8对，13对，......这些数字构成了一个数列，通过观察可以发现，前面相邻两个数字之间的和等于后面的数字，即1+1=2,1+2=3,2+3=5，依此类推，这样的'数列叫做斐波那契数列。在大自然中，像植物的花瓣数目，松果的鳞片，菠萝表皮的花纹，原来都是按照这样的数列排列的。哦！数学真有趣，我开始有点喜欢数学了。

篇5：hdu4549M斐波那契数列(矩阵+欧拉定理)

Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a

F[1] = b

F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n >1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；

每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0<= a, b, n<= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行，

Sample Input

0 1 0 6 10 2

Sample Output

0 60

Source

金山西山居创意游戏程序挑战赛――初赛（2）

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可以发现,每一项上面的指数,刚好是fib数

但是直接做指数太大,mod为素数

所以根据欧拉定理

mod的欧拉函数值为mod-1

a^b = a^(b%(mod - 1)

然后就可以做了

/************************************************************************* >File Name: hdu4549.cpp >Author: ALex >Mail: zchao1995@gmail.com >Created Time: 03月16日 星期一 20时12分13秒 ************************************************************************/#include

篇6：HDU 4549 M斐波那契数列（矩阵快速幂）

Problem DescriptionM斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a

F[1] = b

F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n >1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input输入包含多组测试数据；

每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0<= a, b, n<= 10^9 ）

Output对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行，

Sample Input

0 1 06 10 2

Sample Output

060

通过观察我们发现f[n]中a,b的数量变化符合斐波那契数列特征。于是f[n]=a^k*b^m%MOD;因此我们要用矩阵快速幂去求a和b的幂然而由于数很大，同样要去模一个数，这就是这个题的坑点。求和后用快速幂求f[n]就简单了。同样此题要注意前两项。

#include#include#include#include#include#include#include#include#include

篇7：对数学选修课程设计与开发的论文：《斐波拉契数列》

对数学选修课程设计与开发的论文：《斐波拉契数列》

李 红

（浙江省杭州建德市新安江中学）

摘 要：在深化普通高中课程改革的指引下，基于对高中数学选修课程开发现状的思考，开发了《斐波拉契数列》选修课程。探讨了如何基于知识拓展来开发《斐波拉契数列》选修课程。主要内容包括：《斐波拉契数列》选修课程如何开发运作；选修课程的开发如何实现学生在数学学习上的有效拓展；选修课程如何采用多元评价方式促进学生的终身学习与发展。

关键词：选修课程；斐波拉契数列；设计；开发

一、《斐波拉契数列》选修课程开发背景

根据《浙江省深化普通高中课程改革方案》要求，增开普通高中数学选修课程，是推进普高多样化和特色化发展的必然要求。选修课程的开发与设置有助于提高学生的学习兴趣，拓展学生的知识技能，并带动教师的专业成长。

自从增开选修课程以来，教师根据自身特长和学科特点来开发选修课程，一度出现了“百花齐放，百家争鸣”的热闹景象。但好景不长，选修课成了必修课的翻版或者成为某门课的补偏课。究其原因，首要的是缺乏经验和系统的顶层设计，走一步，算一步；其次，选修课程不成体系，教师没做充足的准备，学生的重视程度不够，导致选修课的随意性，做练习，小测试；再者，在评价方式上存在不足，缺乏灵活多元的评价标准，仍旧采用单一的纸笔考形式给出评定，甚至缺失评价。一方面，教师缺乏正确的选修课教学理念和课程整合能力；另一方面，是迫于高考压力的学校行政干预和以高考成绩为衡量标准的社会价值取向所导致。

在此情况下，笔者对本校高一、高二学生进行问卷调查，对数学学科及数学选修课内容的开设进行了调查。调查统计如下：

问题（1）：你觉得学习数学的作用是什么？

22%培养逻辑思维；49%高考考试科目；20%拿学分、学业考试；9%有用，但具体说不出原因。

问题（2）：你喜欢数学课吗？

20%非常喜欢；41%喜欢；22%无所谓喜欢不喜欢；17%不喜欢。

问题（3）：你喜欢逻辑推理吗？

40%非常喜欢；37%喜欢；22%无所谓喜欢不喜欢；1%不喜欢。

问题（4）：在我校开设的众多知识拓展类选修课中，你愿意选修数学学科知识是想拓展类哪方面的知识？

22%数学竞赛；44%数学文化探究；16%必修内容补偏；18%无所谓。

根据以上调查可以得出：问题（1）说明，学生学习数学是为高考、学业水平考试和拿学分，而不知人类的文明离不开数学，数学在满足人类生活需要方面起着十分重要的作用；更重要的是数学可以培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，为学生的终身学习、可持续发展打下坚实有力的基础。同时，问题（2）（3）和（4）说明，学生有数学学习的需求和兴趣，并期待选修课程里能有数学文化知识；通过对当前选修课开展的现状分析和学生对数学认识的现状调查，凸显了在数学选修课程的开发中，可以开发与数学文化有关的数学选修课程。在高中数学教材人教版必修5第二章《数列》中，《斐波拉契数列》在“阅读与思考”栏目中呈现。笔者对这块内容加以挖掘、整理、补充、丰富，形成具体的教学内容，在数学知识拓展类选修课程中予以实施。

二、理论依据

1.《普通高中数学课程标准》的要求

《普通高中数学课程标准》提出：“鼓励学生学习选修课程，加强对选修课的指导。”这就要求教师在积极开发选修课程的基础上，更应注重提高选修课的质量和有效性；“必修和选修课程共同促进学生数学素养的形成，满足学生的个人需求”，告知我们选修课程与必修课程是相辅相成，形成互补的。《斐波拉契数列》选修课程是对必修教材的数列知识进行拓展和延伸，教师应对教学资源深度分析和开发，创造性地完成课程标准提出的目标和任务，满足学生的需求。

2.浙江省普通高中知识拓展类选修课程框架（数学）的指导

浙江省普通高中知识拓展类选修课程框架（数学）对知识拓展类选修课给予了专业指导：“全面提升学生的数学文化素养，满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础。课程是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于开阔学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。”由此可知，以知识拓展为基点的《斐波拉契数列》选修课程是数学素养提升类的选修课程，培养学生对数学学科的专业兴趣，让学生获得更为全面的知识与能力，满足学生进一步提高数学运用能力和升学的愿望。

《斐波拉契数列》选修课程，加深学生对生活数学的认识，培养数学兴趣，通过学生对斐波拉契数列的探究，培养学生的研究意识。同时，通过学习，学生对斐波拉契数列有更深的了解和认识。

三、《斐波拉契数列》选修课程设计

1.《斐波拉契数列》选修课程目标设计

浙江省普通高中选修课开设的意义之一是：转变育人模式，让学生有个性地学习，满足不同学生的发展需求，满足学生多样化的学习需要。本课程不以高考为目标，不以解题为目的，而是要通过问题解决使学生能经历自主体验，促成思维活动，产生认知，获取结论等，并通过生生、师生之间的交流，产生思维碰撞、交流、反思，相互学习，取长补短，拓宽思维，并在教师的指导下，归纳、概括出问题背后所具体有的数学文化、数学内涵和数学本质等。

选修课是必修课的补充和延伸。教师应依据《普通高中数学新课程标准（实验）》的综合衡量，寻找必修课教材中弱化或缺失的内容，加工整合，作为选修课的主要内容，实现对必修教材的补缺和扩充。《斐波拉契数列》是必修5第二章《数列》中“阅读与思考”栏目内容，是对数列块知识的补充，笔者开发《斐波拉契数列》选修课程是对必修2中数列知识的延伸。

在数学必修课堂教学中，教师主讲时间多于学生自主学习的时间，学生跟着教师学的情境多于学生自主思考的情境，以构建知识网络、学习知识与掌握方法为重。那么在选修课的开设中，笔者改变数学学习途径，整个选修课授课过程中学生自主探究占主导，教师只是做引导。因此，本课程采用“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学方式。即课程实施时，教师要先放手，只作为活动中的一位成员，参与学生的活动。了解学生所思、所得，一是将其及时地展示给其他同学，二是根据学生的了解所得，作好点评准备。

这样的教学方法，是对学习方式的一种改变，也是在弥补当前课堂教学的不足。希望这一改变能使学生更充分地认知数学学习的方法，提高学生学习数学的兴趣。

要获取数学发现，理解数学文化，数学发展的脉络，必须让学生有充分的独立思考、探索机会，为此，要有一个用时规定：在一节课中，教师讲解时间必须少于学生自主活动的时间，同时，教学中，不必以完成内容为目标，要以促成活动、提炼成果为追求。

课程的体例中，每一个模块均有若干个问题组成，旨在问题引导下，促成学习者思维的自主活动，并能通过互相交流，获取一些发现、理解。在自主学习中，教师仅帮助学习者把握各个问题的教学目标，获得新知。

《斐波拉契数列》选修课程每一个模块均以有斐波拉契数列数学史料或生活知识为背景的问题解决构成学习内容。《斐波拉契数列》选修课程提供：或通过个体思维活动，群体相互交流，教师点评小结，获取新知的'机会；或通过学生自己阅读材料，产生想法，交流所思，并在教师的引导下，丰富认知的机会。这能弥补当前教学不足，充实学习途径。《斐波拉契数列》选修课程深信：知识可能被遗忘，而文化、精神、观念会长期影响人一生的工作与学习，把包括数学思想方法、数学意识、数学观念在内的数学精神列入教学目标，引入数学课堂教学。

《斐波拉契数列》选修课程主要针对高一和高二年级学生开设，整个课程通过问题解决或史料阅读，创设学生在原有认识基础上的思维活动，相互交流，发现或获知、归纳或概括问题背后的数学本质、本源、特点，展现数学在人类文明发展中的作用，还原斐波拉契数列的发现和形成历程，充实数学教学内容，弥补数学必修学习的不足，使学生更全面地认知数学，提高学习数学的兴趣。同时，提高学生分析问题和解决问题的能力，实现学生综合发展，彰显数学学科特点的教学理念。

设定的选修课程目标是：

（1）通过《斐波拉契数列》选修课的自主学习，了解研究斐波拉契数列数学历史文化以及研究的方法。

（2）通过解决问题，增强学生数学活动能力，培养学生分析、解决问题的能力；通过交流，拓展学生的数学思路；通过问题解决后的归纳、概括，发现新知、获取新的数学认知与数学理解。

（3）通过解决问题，认识社会发展对数学发展的推动作用，数学的社会需要，培养学生的数学兴趣。

（4）通过选修课程的学习，让学生明白：要重视重要的数学方法，知道概括同质问题；拓宽对数学的认知，知道学习数学并不仅是解题，而有文化与思想；改善对数学的看法，形成正确的数学观，会进行理性思考。

2.《斐波拉契数列》选修课程主干内容设计

《斐波拉契数列》选修课程在教学过程中，需要做题，这是活动的出发点，但不以解决题目为目标，而是提供一次感悟的机会，提供机会发现问题背后的数学思想与方法，获取普适性的结论，以指导个体更好地学习数学；课程借助互联网带来的方便，让学生能快捷地收集、整理资料，探究斐波拉契数列的数学奥秘，发现斐波拉契数列在大自然和艺术领域的秘密，解决与高中数学为背景的数学问题，也基于学生原有的数学学习基础，创设有数学味的学习活动，促进对必修课的学习。

根据课程目标和教学内容，考虑教学可用时间、学生学习基础以及教师能把握水平，本课程安排了九个模块内容，共计18课时。

课程框架和主干内容安排如下：

绪论 斐波拉契说（课时安排：1课时）

斐波拉契数列历史及文化

模块一 兔子问题和斐波拉契数列（课时安排：1课时）

问题1：一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡，一对兔子一年能繁殖成多少对兔子？

问题2：根据每月兔子的数量归纳斐波拉契数列的递推公式。

问题3：请构造一个三阶递推公式。

模块二 斐波拉契数列的数学奥秘（课时安排：2课时）

问题1：对于斐波拉契数列的递推公式，如果仅仅依靠递推关系式求解恐怕很麻烦，你有什么好的办法吗？它的通项公式是什么？

问题2：通过计算和观察，请你说说斐波拉契数列有哪些性质（如通项公式，项之间的关系等）。

问题3：斐波拉契数列还与其他一些数学知识有着微妙的关系，你能找出来吗？（杨辉三角、黄金分割）

模块三 斐波拉契数列与植物（课时安排：1课时）

问题1：观察叶子的生长规律，它与斐波拉契数列有什么联系吗？

问题2：观察身边的花朵，说说它们与斐波拉契数列的关系。

问题3：观察植物的果实，从中找出斐波拉契螺旋。

模块四 斐波拉契数列与动物（课时安排：1课时）

问题1：你知道，蜜蜂的繁殖有什么规律吗？它和斐波拉契数列有什么联系？

问题2：细菌的传播与斐波拉契数列有关吗？

问题3：动物身上也有斐波拉契螺旋吗？

模块五 斐波拉契数列与艺术（课时安排：1课时）

问题1：请你试着分析斐波拉契数列在乐曲中应用规律，并按照这个规律创作一段简单的乐曲。如有困难，也可以请教音乐老师。

问题2：乐器中也能找到斐波拉契数列呢，试试看吧！

模块六 斐波拉契数列大观（课时安排：2课时）

观赏1：了解斐波拉契数列与股票间的关系（艾略特波浪理论）。

观赏2：影视中的斐波拉契数列介绍（达・芬奇密码、考试之神）。

观赏3：斐波拉契比率（黄金分割）的分析。

模块七 斐波拉契数列与高中数学（课时安排：5课时）

问题1：探究人教版必修2第90页“探究与发现”魔术师的地毯的奥秘，设计一个类似的魔术。

问题2：蜂房问题的探究。

问题3：爬楼梯问题的分析。

问题4：以“斐波拉契数列”为背景数学试题赏析。

模块八 构建神奇的数列（课时安排：2课时）

问题1：将斐波拉契数列的开始两项改变，数列的一些性质发生了哪些变化？

问题2：查阅资料了解卢卡数列、托里波那契数列，这些数列与斐波拉契数列有什么关系吗？

模块九 成果展示（课时安排：2课时）

通过对斐波拉契数列的学习，分成小组，分工合作，撰写研究报告，制作PPT，展示所学及感兴趣模块内容和小组深入研究方向。

四、《斐波拉契数列》选修课程编写原则

《斐波拉契数列》选修课程不是必修课的延续，因此，需要提供有别于必修课的教学途径。以问题解决为主线，以学生思维活动，生生或师生交流，教师点评为途径来设计每个内容。《斐波拉契数列》选修课程不是数学史料的简单阅读，因此，需要以问题解决为载体，承载史料内容的教育功能。《斐波拉契数列》课程是数学选修课，因此，需要有数学的教育价值，也要适合学生的数学认知基础。

结合上述，本课程编写的基本思路是：以斐波拉契数列为背景设计问题，以问题解决为主线安排内容，以能产生活动、交流、点评为要素安排过程，能将各个问题解决，落实在数学文化上，落实在数学思想上，落实在数学方法上，从而使学生感受数学文化的力量，吸取数学发展史中的营养，了解数学家发现与创造数学的过程，体会数学的内涵与特点，故在课程编写上遵循以下五个原则。

1.典型性

斐波拉契数列在发展历程中，内容十分丰富，考虑到课程目标、选修课开设时间，课程开发时，定位选择斐波拉契数列中具有典型性的案例，能保证实现：每一个点的学习，一是能明白一个结论，二是在学生完成选修课后，有进一步学习的可能，即有条件“由点及面”。

2.学科性

坚持做数学。即本课程的内容既要有“数学味”，也要有一定的数学“思维量”，同时要求通过每一讲的学习，使学生能发现数学内在的、本质的东西，获取新的认知、理解。

3.活动性

相比必修课的学习，设计时应充分考虑到，能让学生有更多的主动性，能参与学习过程，发表自己的理解与发现，交流各自的所得，并在教师的参与下，提升、概括，获取新知。

4.适合性

在选取斐波拉契数列案例时，尽力控制在学生可接受的知识领域，同时考虑：对不喜欢数学的学生，可选择课程的部分内容，发现斐波拉契数列内含的文化、斐波拉契数列广泛的应用性、数学思维的特点等，改变对数学的认知；对喜欢数学的学生，能通过本课程的学习，更全面地了解斐波拉契数列，发现数学内在的思想、数学研究的方法等，从而奠定进一步学好数学的基础。

5.易用性

考虑选修课程实施时，教师的可操作性。即能根据课程提供的材料组织起学生的活动，促成生生或师生之间的交流，并保障教师对活动成果进行有价值的概括、归纳、提升。同时，也考虑到本课程可当作学生的课外读物，即能引导学生通过自学完成课程学习。

五、《斐波拉契数列》选修课程多元评价方式

根据高中生的认知、学习、领悟能力，建立相应的课程评价体系，以促进学生自主学习方式的养成，培养学生良好的学习习惯，激发学生对数学学习的兴趣为原则，促成学生知晓自主研究数学的方法，能自主做一些基本的探索与简单的研究，挖掘学生的潜能，激发他们分析问题和解决问题的能力。因此，特别从以下两个方面加强对课程的考评。

1.过程性评价与终结性评价相结合

过程性评价指的是学生的出勤率与课堂表现，占50%，终结性评价指的是学生的学习成果，占50%。两者成绩叠加大于60%即可得学分。本课程设满分100分。

（1）学时学分：出勤情况占总分20%。满勤得20分，但一次未出勤扣15分。

（2）课业学分：占总分30%。学生课上纪律、活动参与情况，团结协作情况。

（3）成绩学分：占总分50%。对学生每次上交的作业，按作业完成时间，作业质量，评分，每次总分8分，允许有1次作业可以选择不做。

（4）写出研究报告，每一份报告根据质量，在5~10分区间内，另给予加分。这样做虽然有缺勤，但能根据课程要求，进行自主研究的学生也有合格的机会。

2.定量评价与定性评价相结合

定性评价可以补充那些定量评价中难以量化的重要品质与行为的评价，注重整理学生的成长档案袋。学生提供的信息资料、学生的调查报告，甚至是在数据统计整理中拍摄的照片都可作为学生成绩计入总分。使学生丰富的个性心理发展也得到关注，使个性发展呈现多元标准。

对于评价方式，不仅在于学生是否按时出勤还是课堂上好的表现，最主要的是在学习活动过程中能有其他能力上的收获（如：对资料的收集、加工、整理能力等），这也是我对这门课程的最大希望。

六、思考与总结

《斐波拉契数列》选修课程是对数学必修2中《数列》的拓展和延伸，通过对斐波拉契数列的探究，在一定程度上填补了必修课的空白，丰富了数学课的内容，给学生提供了更多的选择和学习的机会。行走在数学教学研究与数学课程开发之间，无形中提升了笔者的专业素养，形成自己的教学特色，并迁移到必修课的教学。不过，笔者开设的《斐波拉契数列》选修课尚处于起步阶段，远远没有达到层次性、系统性、多样性的标准，需要不停摸索和探究。笔者将认真学习和研究选修课程的重要指导文件，在实践中逐步改进和完善《斐波拉契数列》选修课程，为学生的发展和学校的特色化发展做出自己的努力。

参考文献：

李学军，王红权。数学地认知数学［M］。杭州出版社，2014.

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