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江苏省张家港市暨阳高级中学 215600
周期性是函数的一个重要性质，近年高考对这一性质的考查加大了检测力度，本文给出一些常用的判断（识别）函数周期性的方法，供读者参考．
一、定义法
若存在非零常数 使 对于 的定义域内的任意 都成立，则 是周期函数，且非零常数 是 的一个周期．
二、直观法
若函数图象可由某一段重复平移而衔接得到，则该函数是周期函数，且这一段图象两端点的横坐标之差是这个函数一个周期．
三、公式法
若 是最小正周期为 的周期函数，则 （其中 都是常数）是以 为最小正周期的周期函数．
四、双轴法
若两条平行直线 都是函数 图象的对称轴，则 是周期函数，且 是它的一个正周期．
证：由 是函数 图象的对称轴，得：
又 也是函数 图象的对称轴，
所以，
故
因此 是周期函数，且 是它的一个正周期．
推论：图象关于直线 对称的偶函数必是周期函数，且 是它的一个正周期．
五、两点法
若点 ， 都是函数 图象的对称中心，则 是周期函数，且 是它的一个正周期．
证：由点 是函数 图象的对称中心，得：
又点 是函数 图象的对称中心，得：
两式相减得：
因此 是周期函数，且 是它的一个正周期．
推论：图象关于点 对称的奇函数必是周期函数，且 是它的一个正周期．
六、点轴法
若直线 和点 分别是函数 图象的对称轴和对称中心，则 是周期函数，且 是它的一个正周期．
证：由 是函数 图象的对称轴，得：
又 是函数 图象的对称中心，得：
故
两式相减整理得：
所以 是周期函数，且 是它的一个正周期．
推论1图象关于 对称的奇函数必是周期函数，且 是它的一个正周期．
推论2图象关于点 对称的偶函数必是周期函数，且 是它的一个正周期．
注释：
[1]另外，若函数满足以下常见的函数方程之一，也可判定其为周期函数．即：
(1)对任意一个实数 ，都有 ，则函数 是周期函数，且 是它的一个周期；
(2)对任意一个实数 ，都有 ，则函数 是周期函数，且 是它的一个周期；
(3)对任意一个实数 ，都有 ，则函数 是周期函数，且 是它的'一个周期．
[2]周期性的证明应严格按照周期函数的定义证明，在理解函数周期性时可结合图象从数形结合的角度直观的观察，即方法二；
[3]函数周期性出现在三角函数一章中，故方法三常用做计算函数的最小正周期，尤其是三角函数的最小正周期；
[4]后三种方法及推论便于判断一些特殊函数和抽象函数的周期性，反映了一般的抽象函数若同时具有奇偶性和对称性或对称性（两个对称关系），则函数具有周期性，可结合方法二加以理解．
例1(全国高考17题)求函数 的最小正周期、最大值和最小值．
解析：
所以函数的最小正周期为 ，最大值是 ，最小值是 ．
例2(全国高考22题第(2)问)设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，证明 是周期函数．
证明：∵ 关于直线 对称
∴ ，
又 是偶函数知 ，
∴
上式中以 代 ，得 ，
这表明 是 上的周期函数，且2是它的一个周期．
中点四边形：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为菱形，对角线相等的四边形的中点四边形定为矩形。)
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的面积计算：1.对角线乘积的一半。(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);由把菱形分解成2个三角形，化简得出;2.底乘高;3.设菱形的边长为a，一个夹角为θ，则面积公式是：S=a^2·sinθ。
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.四条边都相等的四边形是菱形。
3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
已知：如图,在◇ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC分别交于点E、O、F。则四边形AFCE是菱形。
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC(平行四边形的对边平行)，
∴ ∠EAO=∠FCO.
∵ EF平分AC，
∴ AO=OC.
又∵ ∠AOE=∠COF=90°，
∴ △AOE≌△COF(ASA)，
∴ EO=FO，
∴ 四边形AFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)。
又∵EF⊥AC，
∴ 四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。
证明：
∵AB=CD，BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC(平行四边形的对角线相互平分)。
又∵AC⊥BD，
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴ AB=BC，
∴ 四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)。
3、有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
RF是三角形ABD的中位线，于是RF∥AD，
同理：GH∥AD，RH∥BE，FG∥BE，所以有RF∥GH，RH∥FG，
所以四边形RFGH是平行四边形;
第二步证明△ACD≌△BCE，则AD=BE，于是有RH=RF;所以四边形RFGH是菱形。
长方形也称矩形，是特殊的平行四边形之一。即有一个角是直角的平行四边形称为长方形。
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
周长和面积公式：矩形ABCD的周长=2(a+b);
矩形ABCD的面积S=ab。(当a=b时，可以得到正方形的相应公式)
矩形定理1：
1、矩形的对边平行且相等。
2、矩形的四个角都是直角。
矩形定理2：
1、矩形的对角线相等。
平行四边形ABCD：AC=BD
2、矩形的对角线相互平分
平行四边形ABCD是矩形：OA=OC，OB=OD
矩形的对角线相等，我们可以通过勾股定理证明。
证明：∵△ABC中，∠ABC =90°，
∴AC2=a2+b2
∵△DCB中，∠BCD =90，
∴BD2= a2+ b2
∴AC2=BD2
∴AC=BD
性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是90度；4.矩形是轴对称图形。矩形的性质
1.矩形具有平行四边形的一切性质
2.矩形的对角线相等
3.矩形的四个角都是90度
4.矩形是轴对称图形
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形
2.对角线相等的平行四边形是矩形
3.有三个角是直角的四边形是矩形
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
证明：因为平行四边形ABCD
∴AB=CD,AB‖CD
∴∠B+∠D=180度
∴BM=MC
∴MA=MD
∴△MAB≌△MDC(SSS)
∴∠B=∠D=90度
∴四边形ABCD是矩形(有一个内角为90度的平行四边形是矩形)。
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形。
(3)有三个角是直角的四边形是矩形。
(4)定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
(5)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。由于矩形是特殊的平行四边形，故包含平行四边形的性质;矩形的性质大致总结如下：
(1)矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分;
(2)矩形的四个角都是直角;
(3)矩形的对角线相等;
(4)具有不稳定性(易变形)。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有一个角为直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
什么是闰年_闰年判定方法
释义
基本信息
词目：闰年
拼音：rùn nián
英语：Leap Year ;Bissextile Year;Intercalary Year
基本解释
凡阳历中有闰日(二月为二十九日)的年，闰余(岁余置闰。阴历每年与回归年相比所差的时日)。
具体出处
宋・苏轼 《监洞霄宫俞康直郎中所居四咏・退圃》：“园中草木春无数，只有黄杨厄闰年。” 宋・陆游 《蜗舍》诗：“麦因多雨损，蚕遇闰年迟。”清・俞樾 《茶香室丛钞・茨菰应闰月》：“茨菰一根，环十二子，闰年十三子。”
产生原因
通常的解释是说一年有多少天多少小时多少分，取整数365还有多余的，累积达到一天24小时后，就多加一天的年是闰年。这个解释只是告诉了大家怎么计算，是人为设置的东西。
最根本的原因是：地球绕太阳运行周期为365天5小时48分46秒(合365.24219天)即一回归年(tropical year)。公历的平年只有365日，比回归年短约0.2422 日，所余下的时间约为每四年累计一天，故第四年于2月末加1天，使当年的历年长度为366日，这一年就为闰年。现行公历中每400年有97个闰年。按照每四年一个闰年计算，平均每年就要多算出0.0078天，这样经过四百年就会多算出大约3天来。因此每四百年中要减少三个闰年。所以公历规定：年份是整百数时，必须是400的倍数才是闰年;不是400的倍数的世纪年，即使是4的倍数也不是闰年。
这就是通常所说的：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。 例如，2000年是闰年，2100年则是平年。
判定方法
公历闰年计算
(按一回归年365天5小时48分45.5秒)
①、非整百年能被4整除的为闰年。(如2004年就是闰年,2100年不是闰年)
②、能被400整除的是闰年。(如2000年是闰年，1900年不是闰年)
③、对于数值很大的年份,这年如果能被3200整除,并且能被172800整除则是闰年。如172800年是闰年，86400年不是闰年(因为虽然能被3200整除，但不能被172800整除)(此按一回归年365天5h48'45.5''计算)。
按一回归年365天5h48'45.5''计算：3200年多出16000小时153600分145600秒 =18600小时26分40秒，共32*24+8=776个闰年=776*24=18624小时 >18600小时，所以只能算到775个闰年，3200不是闰年，于是775*24=18600，多出了26分40秒(共计1600秒)，怎么办?需要经历多少个3200年的周期，足够弥补1天(86400秒)?答案是刚好54个周期(86400=1600*54)，历时172800(=3200*54)年。
【公元前闰年计算】
1，非整百年：年数除以4余数为1是闰年，即公元前1、5、9……年;
2，整百年：年数除以400余数为1是闰年，年数除以3200余数为1，不是闰年,年数除以172800余1又为闰年,即公元前401、801……年。
【128年31闰置闰法】
这一规则曾在19世纪提出，但不知何故没被两教派采纳。比起400年3不闰和900年7不闰的规则，128年31闰更精确更简便。
按现行的闰年规则，从2052年到2096年间的闰年与回归年的误差都会超过一天以上，如采用128年31闰规则不会这么早出现这种情况。
128年31闰的置闰方案的优点和实施方法：
1,采用 128年31闰的置闰的方法,可以大大地减少历年与回归年的误差,回归年长度是365.24219879日, 128年31闰的平均年长是365.2421875日。历年与回归年的平均误差每年不到一秒,是历法与回归年平均误差的27分之一。
2.改历后与现历法衔接好,不须要过渡阶段。其方法如下:现历法继续使用,到2048年停闰,以后每加128年既不闰。新历法规则是:每四年一闰,凡公元年数能被128整除的年不闰。
3. 此历法非常科学,它的置闰方法比现历法更简单,更符合天体运行规律，现历法平均每年与回归年误差26秒,而此历法每年与回归年平均误差不到一秒。经计算,如果回归年按如今长度计算，得八万多年,新历法与回归年的误差才能超过一日。而现历法与回归年的误差3300年即超过一日。此历法好记简单,便于历算，凡公元年数能被128整除的年不闰。
计算方法
精确计算方法
(按一回归年365天5小时48分45.5秒)
①、普通年能被4整除且不能被100整除的为闰年。(如2004年就是闰年,1900年不是闰年)
②、世纪年能被400整除的是闰年。(如2000年是闰年，1900年不是闰年)
③、对于数值很大的年份,这年如果能整除3200,并且能整除172800则是闰年。如172800年是闰年，86400年不是闰年(因为虽然能整除3200，但不能整除172800)(此按一回归年365天5h48'45.5''计算)。
此外，如依照现有太阳年的长度与上述闰年规则，每8000年又约差一日，因此约翰・赫歇尔提议每逢4000的倍数不闰，如西元4000年。但距此一年份来临尚有约二千年之遥，因此还未曾真正纳入规则或实施过。又由于地球公转速率的不稳定与众多影响因素，届时是否需要纳入此规则仍有疑问。
原因：若一年按365天5h48'46''(此时86400年也是闰年)计算，一年日数必须是整数，不便将零时数计入，所以取365天为一年，则余5时48分46秒 ，积至4年约满一 日，所以4年一“闰日”，谓之“闰年”，无“闰日”之年为平年，即平年365天，闰年366天。但到4年之时，仅有23时15分4秒闰一日，欠缺44分56秒;积至100年(25闰)时就欠缺18时43分20秒，约合3 / 4日，所以满100年不闰;此时又余5时16分40秒，积至400年余21时6分40秒又闰;又欠缺2时53分20秒，积至3200年计欠缺23时6分40秒，所以满3200年不闰;此时又余53分20秒，积至86400年刚好24 时又一闰，这是不余不欠，需重计算，所以按阳历计算就有上面的闰年规则。
按一回归年365天5h48'45.5''计算：3200年多出16000小时153600分145600秒 =18600小时26分40秒，共32*24+8=136个闰年=776*24=18624小时 >18600小时，所以只能算到775个闰年，3200不是闰年，于是775*24=18600，多出了26分40秒怎么办需要多少个周期弥补?答案是54个周期，为172800年，因为172800/3200=54个周期 54*26分40秒=1404分2160秒=24小时。
程序计算
Ecmascript语言：
C#语言:
Java语言：
VB语言：
Python 语言：
C++语言：
C语言：
MATLAB语言：
闰年(3)Erlang语言：
Bash/Shell:
[什么是闰年_闰年判定方法]
★ 三角形判定定理
★ 判定教学反思
