以下是小编帮大家整理的高中数学《函数y=Asin(ωxφ)的图象》说课稿（共含15篇），仅供参考，欢迎大家阅读。同时，但愿您也能像本文投稿人“吃点不快乐”一样，积极向本站投稿分享好文章。
一、教材分析
1· 教材的地位和作用
在学习这节课以前，我们已经学习了振幅变换。本节知识是学习函数图象变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要。 y=asin(ωx+φ)图象变换的学习有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识。同时为相关学科的学习打下扎实的基础。
⒉教材的重点和难点
重点是对周期变换、相位变换规律的理解和应用。
难点是对周期变换、相位变换先后顺序的调整，对图象变换的影响。
⒊教材内容的安排和处理
函数y=asin(ωx+φ)图象这部分内容计划用3课时，本节是第2课时，主要学习周期变换和相位变换，以及两种变换的综合应用。
二、目的分析
⒈知识目标
掌握相位变换、周期变换的变换规律。
⒉能力目标
培养学生的观察能力、动手能力、归纳能力、分析问题解决问题能力。
⒊德育目标
在教学中努力培养学生的“由简单到复杂、由特殊到一般”的辩证思想，培养学生的探究能力和协作学习的能力。
⒋情感目标
通过学数学，用数学，进而培养学生对数学的兴趣。
三、教具使用
①本课安排在电脑室教学，每个学生都拥有一台计算机，所有的计算机由一套多媒体演示控制系统连接，以实现师生、生生的相互沟通。
②课前应先把本课所需要的几何画板课件通过多媒体演示系统发送到每一台学生电脑。
四、教法、学法分析
本节课以“探究——归纳——应用”为主线，通过设置问题情境，引导学生自主探究，总结规律，并能应用规律分析问题、解决问题。
以学生的自主探究为主要方式，把计算机使用的主动权交给学生，让学生主动去学习新知、探究未知，在活动中学习数学、掌握数学，并能数学地提出问题、解决问题。 五、教学过程
五、教学过程设计
【预备知识】
（一）问题探究
(1)师生合作探究周期变换
(2)学生自主探究相位变换
（二）归纳概括
（三）实践应用
【教学程序】
【设计说明】
1我们已经学习了几种图象变换？
2这些变换的规律是什么？
帮助学生巩固、理解和归纳基础知识，为后面的学习作铺垫。促使学生学会对知识的归纳梳理。
【问题探究】
（一）师生合作探究周期变换
(1)自己动手，在几何画板中分别观察①y=sinx→y=sin2x;②y=sinx→y=sin x图象的变换过程，指出变换过程中图象上每一个点的坐标发生了什么变化。
(2) 在上述变换过程中，横坐标的`伸长和缩短与ω之间存在怎样的关系？
（二）学生自主探究相位变换
(1)我们初中学过的由y=f(x)→y=f(x+a)的图象变换规律是怎样的？
(2) 令f(x)=sinx,则f(x+φ)=sin (x+φ)，那么y=sinx→y=sin (x+φ)的变换是不是也符合上述规律呢？请动手用几何画板加以验证。
设计这个问题的主要用意是让学生通过观察图象变换的过程，了解周期变换的基本规律。
设计这个问题意图是引导学生再次认真观察图象变换的过程，以便总结周期变换的规律。
师生合作探究已经让学生掌握了探究图象变换的基本方法，在此基础上，由学生自主探究相位变换规律，提高学生的综合能力。
【归纳概括】
通过以上探究,你能否总结出周期变换和相位变换的一般规律?
设计这个环节的意图是通过对上述变换过程的探究,进而引导学生归纳概括,从现象到本质,总结出周期变换和相位变换的一般规律。
【实践应用】
（一）应用举例
(1)用五点法作出y=sin(2x+ )一个周期内的简图。
(2)我们可以通过哪些方法完成y=sinx到y=sin(2x+ )的图象变换
(3)请动手验证上述方法，把几何画板所得图象与用五点法作出的简图作比较，观察哪些方法是正确的，哪些方法是错误的。
(4)归纳总结
从上述的变换过程中,我们知道若f(x) =sin2x,则f(___)= sin(2x+ ),由f(x)→f(x+a)的变换规律得从y=sin2x →y= sin(2x+ )的变换应该是_____.
（二）分层训练
a组题（基础题）
如何完成下列图象的变换： ①y=sin3x→y=sin（3x+1）
②y=sin(x+1) →y=sin（3x+1）
b组题（中等题）
如何完成下列图象的变换： ①y=sin3x→y=sin（3x+1） ②y=sin(x+1) →y=sin（3x+1）
③y=sinx →y=sin（3x+1）
c组题（拓展题）
①如何完成下列图象的变换： y=sinx →y=sin（3x+1） ②我们知道，从f(x)到f(x)+k的变换可通过图象的上下平移(k>0上移)(k<0下移)|k|个单位得到。那么由y=f(x)→y=af(x)+k的变换中，振幅变换和上下平移变换是不是也有先后顺序呢？请通过实例加以验证。
让学生用五点法作出这个图象是为了验证变换方法是否正确。
给出这个问题的用意是开拓学生的思维，让学生从多角度思考问题。
这个步骤主要目的是培养学生的探究能力和动手能力。
这个问题的解决，是突破本课难点的关键。通过问题的解决，让学生理解如果先进行周期变换，而后进行相位变换，应特别关注x的变化量。
a组题重在基础知识的掌握，
由基础较薄弱的同学完成。
b组比a组增加了第③小题，
重在对两种变换的综合应用。
c组除了考查知识的综合应用，
还要求学生对新问题进行探究，
有较大难度，适合基础较好的
同学完成。
六、作业
（1）必做题
（2）选做题
作业分为两种形式，体现作业的巩固性和发展性原则。选做题不作统一要求，供学有余力的学生课后研究。
七、评价分析
在本节的教与学活动中，始终体现以学生的发展为本的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，注意学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视动手能力的培养，重视问题探究意识和能力的培养。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生得到不同的发展，体现因材施教原则。
调节与反馈：
⑴验证两种变换的综合时，可能会出现有些学生无法观察到两种变换的区别这种情况，此时，教师除了加以引导外，还需通过教师演示和详细讲解加以解决。
⑵教学中可能出现个别学生无法正确操作课件的情况，这种情况下一定要强调学生的协作意识。
附：板书设计
课题
⑴周期变换规律 ⑶两种变换的综合 例题与练习
⑵相位变换的规律 ⑷注意点
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》说课稿
一、教学理念
新的课程标准明确指出 “数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．
因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．
二、教材分析
三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，两角和与差的三角函数以及正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．共3课时，本节课是继学习完振幅、周期、初相变换后的第二课时．
本节课倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过五点作图法正确找出函数y＝sin x到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律是本节课的重点．
难点是对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．因此，分析清不管哪种顺序变换，都是对一个字母x而言的变换成为突破本节课教学难点的关键．
依据《课标》，根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标．
三、教学目标
［知识与技能］
通过“五点作图法”正确找出函数y＝sin x到y＝sin(ωx+φ) 的图象变换规律，能用五点作图法和图象变换法画出函数y＝Asin(ωx+φ)的简图，能举一反三地画出函数y＝Asin(ωx+φ)＋k和y＝Acos(ωx+φ)的简图．
［过程与方法］
通过引导学生对函数y＝sin x到 y＝sin(ωx+φ)的.图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法．
［情感态度与价值观］
课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；小组交流中，学会合作意识；在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．
四、教学过程（六问三练）
1、设置情境
高二数学教案函数y=Asin(ω某+φ)图象
一、教材分析
1・教材的地位和作用
在学习这节课以前，我们已经学习了振幅变换。本节知识是学习函数图象变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要。
y=asin(ωx+φ)图象变换的学习有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识。同时为相关学科的学习打下扎实的基础。
⒉教材的重点和难点
重点是对周期变换、相位变换规律的理解和应用。
难点是对周期变换、相位变换先后顺序的调整，对图象变换的影响。
⒊教材内容的安排和处理
函数y=asin(ωx+φ)图象这部分内容计划用3课时，本节是第2课时，主要学习周期变换和相位变换，以及两种变换的'综合应用。
二、目的分析
⒈知识目标
掌握相位变换、周期变换的变换规律。
⒉能力目标
培养学生的观察能力、动手能力、归纳能力、分析问题解决问题能力。
⒊德育目标
在教学中努力培养学生的“由简单到复杂、由特殊到一般”的辩证思想，培养学生的探究能力和协作学习的能力。
⒋情感目标
通过学数学，用数学，进而培养学生对数学的兴趣。
三、教具使用
①本课安排在电脑室教学，每个学生都拥有一台计算机，所有的计算机由一套多媒体演示控制系统连接，以实现师生、生生的相互沟通。
②课前应先把本课所需要的几何画板课件通过多媒体演示系统发送到每一台学生电脑。
四、教法、学法分析
本节课以“探究――归纳――应用”为主线，通过设置问题情境，引导学生自主探究，总结规律，并能应用规律分析问题、解决问题。
以学生的自主探究为主要方式，把计算机使用的主动权交给学生，让学生主动去学习新知、探究未知，在活动中学习数学、掌握数学，并能数学地提出问题、解决问题。
五、教学过程
教学过程设计：
预备知识
一、问题探究
⑴师生合作探究周期变换
⑵学生自主探究相位变换
二、归纳概括
三、实践应用
六、评价分析
在本节的教与学活动中，始终体现以学生的发展为本的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，注意学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视动手能力的培养，重视问题探究意识和能力的培养。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生得到不同的发展，体现因材施教原则。
调节与反馈：
⑴验证两种变换的综合时，可能会出现有些学生无法观察到两种变换的区别这种情况，此时，教师除了加以引导外，还需通过教师演示和详细讲解加以解决。
⑵教学中可能出现个别学生无法正确操作课件的情况，这种情况下一定要强调学生的协作意识。
下学期 4.9函数y=Asin(ωχ＋φ)的图象2
（一）教学具准备
直尺、投影仪．
（二）教学目标
1．掌握由 的变化过程，理解由 到 的变换步骤．
2．利用平移、伸缩变换方法，作函数 图像．
（三）教学过程
1．设置情境
师：上节课，我们学习了如何由 的图像通过变换得到 和 的图像，请同学复述一下变换的具体过程．
生：将 的图像通过振幅变换便得到 的图像
将 的图像通过周期变换就得到 的图像
师：今天这节课，我们将继续学习如何由 的图像通过变换手段分别得到 及 的图像，（板书课题：函数 和 的图像）
2．探索研究
（1）如何由 的图像通过变换得到 的图像
【例1】画出函数 ， ， ， 的简图
师：由上一节画余弦函数的图像可知，函数 ， 的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到．
同学们能否用类比的方法由 的图像得到 和 的图像．
生：从 的图像向左平移 个单位长度而得到 ，即 的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度，就可以得到 的图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度，就可以得到 的图像．
函数 ，
，
，
在一个周期内的图像如图1所示：（用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像）
师：我们已经学过并且知道 与 图像是一种左、右平移关系，从例1中你能得到 与 的图像之间的联系吗？
生：函数 ， （其中 ）的图像可以看做把 的图像上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换．
（2）如何由 的图像通过变换得到 的图像
【例2】画出函数 ， 的简图．
解：函数 的周期 ，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图．
列表
0
0
3
0
－3
0
描点，连线得图2
利用函数的周期性，我们可以把它在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图．（用依次叠放投影片的方法投影展示上图）
师：函数 ， 的图像，可以看作用下面的方法得到：先将 上所有的'点向左平移 个单位长度，得到函数 ， 的图像；再把后者所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ， 的图像；再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），从而得到函数 ， 的图像．
师：我们已经知道函数 与 是一种延 轴方向上的伸缩变换，从例2中你能得到 与 的图像之间的联系吗？
生：函数 ， （其中 ， ）的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）．
我们小结一下上述步骤如下：
师：其步骤流程图如下：
这一过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．
函数 ， （其中 ， ）的简图，可以用类似方法画出．
（3） 、 、 的物理意义
当函数 ， （其中 ， ）表示一个振动量时， 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅．
往复振动一次所需要的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 称为振动的频率．
称为相位； 时的相位 称为初相．
3．演练反馈（投影）
（1）要得到函数 图像，只需将 的图像（ ）
A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移
（2）函数 的一个周期内图像如图3．
则 的表达式
A．
B．
C．
D．
（3）把函数 的图像向左平移 个单位，再把图像上各点的横坐标压缩为原来的 ，所得的解析式为_________．
参考答案：
（1）C．把 右移 ，得
（2）D．因为 ，又 与 比较知，是其左移 而得，即
（3）变换过程如下：第一步得：
第二步得：
4．总结提炼
（1）了解三角函数图像的变化规律和方法，由 ，此步骤只是平移（ ，左移 个单位； ，右移 个单位），而由 可由二条思路：
① 即先平移后压缩．
② 即先压缩再平移．
不论哪一条路径，每一次变换都是对一个字母 而言的，如， 的图像向右平移 个单位，得到的应是 ，而不是 ；又 的图像横坐标扩大到原来的2倍，应是 而不是 ．
（2）作函数图像的方法有多种，如描点法，五点作图法，根据奇、偶利用对称法等等，平移、变换法只是诸多作图法中一种，它与五点作图法同样重要，希望大家多练习，掌握变换次序上的技巧．
（四）板书设计
课题________
1．如何由 的图像
作 的图像
例1
2．如何由 的图像
作 的图像
例2
变换法作 的图像的流程图
演练反馈
总结提炼
教学目的：1.会用“五点法”画y＝asin(ωx＋ )的图象；2.会用图象变换的方法画y＝asin(ωx＋ )的图象；3.会求一些函数的振幅、周期、最值等.教学重点：1.“五点法”画y＝asin(ωx＋ )的图象；2.图象变换过程的理解；教学难点：多种变换的顺序及三角函数性质的综合应用.教学过程：一、复习引入：1．振幅变换:y=asinx，xîr(a>0且a¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。ω决定了函数的周期.3. 相位变换: 函数y＝sin(x＋ )，x∈r(其中 ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ＞0时)或向右(当 ＜0时＝平行移动｜ ｜个单位长度而得到. (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)二、例题： 1.如图b是函数y＝asin(ωx＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )a.a＝3，t＝ ，φ＝－ b.a＝1，t＝ ，φ＝－ c.a＝1，t＝ ，φ＝－ d.a＝1，t＝ ，φ＝－ 2.如图c是函数y＝asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )图ca. b. c. d. 3.函数y＝asin（ωx＋φ）（a＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝ 时，有ymax＝2，当x＝0时，有ymin＝－2，则函数表达式是 .图d4.如图d是f（x）＝asin（ωx＋φ），a＞0，｜φ｜＜ 的一段图象，则函数f（x）的表达式为 . 图e5.如图e，是f（x）＝asin（ωx＋φ），a＞0，｜φ｜＜ 的一段图象，则f（x）的表达式为 .6.如图f所示的曲线是y＝asin（ωx＋φ）（a＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式.图f7.函数y＝asin（ωx＋φ）＋k（a＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝ 时，y有最大值为 ，当x＝ 时，y有最小值－ ，求此函数的解析式.8.已知f（x）＝sin（x＋θ）＋ cos（x－θ）为偶函数，求θ的值.9．由图g所示函数图象，求y＝asin（ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的表达式.图g图h10．函数y＝asin(ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的图象如图h，求函数的表达式.三、作业：《优化设计》p44 强化训练 p46 强化训练. 3~5,8
教学目的：三角函数图象和性质的综合应用 教学重点、难点：三角函数图象和性质的综合应用.一、例题： 例1 （1）已知 ，且 是第一象限角，则 的集合为（ ） a． b． c． d． （2）函数 的最大值与最小值依次分别为 a． b． c． d． （3）在锐角 中，下列结论一定成立的是（ ） a． b． c． d． 例2奇函数f(x)在其定义域( , )上是减函数，且f(1-sinα)+f(1-sin2α)<0求角α的取值范围。
例3知 )且函数
的最小值为0，求 的值.
例4已知函数 的图像过a(0，1)，b( ，1)两点，当函数的定义域为[0, ]时，恒有 成立，试确定实数a的范围.
例5 的周期为 ,且有最大值 .(1)求 .
(2) 若 为方程 的两根,( 的终边不共线),求 的值.
例6设定义域为一切实数的奇函数 是减函数,若当 时， 的取值范围.
二、作业：《绿色通道》五十.
教学目的：1.理解振幅、周期、相位的定义；2.会用五点法画出函数y=asinx、y=asinωx和 的图象，明确a、ω与φ对函数图象的影响作用；并会由y=asinx的图象得出y=asinx`y=asinωx和 的图象。教学重点：熟练地对y＝sinx进行振幅、周期和相位变换.教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律教学过程：一、复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝asin(ωx＋ )的函数解析式(其中a，ω， 都是常数).下面我们讨论函数y＝asin(ωx＋ )，x∈r的简图的画法.二、讲解新课： 探究1画出函数y=2sinx xîr；y= sinx xîr的图象，你能得出什么结论？（课件“振幅”）。探究2 画出函数y=sin2x xîr；y=sin x xîr的图象，你能得出什么结论？（课件“周期”）。探究3画出函数 xîr；的图象，你能得出什么结论？（课件“相位”）。探究4画出函数y=sinx+1 xîr；y=sinx-1 xîr的图象，你能得出什么结论？（课件“上下移”）。函数 的图象.（课件“综合”，“小结”）三、小结 平移法过程：作y=sinx（长度为2p的某闭区间）得y=sin(x+φ)得y=sinωx得y=sin(ωx+φ)得y=sin(ωx+φ)得y=asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到r上。沿x轴平移|φ|个单位横坐标 伸长或缩短横坐标伸 长或缩短沿x轴平移| |个单位纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短
两种方法殊途同归(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换 （2）y=sinx周期变换 y=sinωx相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换 四、作业：习题4.9 1. 2. 3.
教学目的：三角函数图象和性质的综合应用 教学重点、难点：三角函数图象和性质的综合应用.一、例题： 例1 θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求θ的值.例2 已知 ，试确定函数的奇偶性、单调性.例3 (1)若函数f(x)(x∈r)的图象关于直线x=a与x=b(b>0)都对称，求证f(x)是周期函数， 且2(b-a)是它的一个周期；(2)若函数y=f(x)(x∈r)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)（常数a∈r+）,则f(x)是周期函数，且6a是它的一个周期.例4已知函数y＝2sinxcosx＋sinx－cosx(0≤x≤π).（1） 求y的最大值、最小值；例5.若函数f(x)=asin(x- )+b满足f( )+f( )=7且f(π)-f(0)=2 求: ⑴f(x)的解析式；⑵ f(x)的单调区间； ⑶ f(x)的最小值；⑷ 使f(x)=4的x的集合；
例6 已知 ,求的单调递增区间. 二、作业 《精析精练》p52 智能达标训练 1— 21.
下学期 4.9函数y=Asin(ωχ＋φ)的图象1
4.9函数的图像
第一课时
（一）教学具准备
直尺、投影仪．
（二）教学目标
掌握由
（三）教学过程
1．设置情境
函数 （ 、 、 是常数）广泛应用于物理和工程技术上、例如，物体作简谐振动时，位移 与时间 的关系，交流电中电流强度 与时间 的关系等，都可用这类函数来表示．我们知道，图像是函数的最直观的模型，如何作出这类函数的图像呢？下面我们先从函数 与 的简图的作法学起．（板书课题）―函数 与 的图像．
2．探索研究
（可借助多媒体）
（1）函数 与 的图像的联系
【例1】画出函数 及 （ ）的简图．
解：函数 及 的周期均为 ，我们先作 上的简图．
列表并描点作图（图1）
0
0
1
0
－1
0
0
2
0
－2
0
0
0
0
利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图．
的图像与 的图像之间有何联系？请一位同学说出 的值域和最值．
生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的． ， 的值域是 ，最大值是2，最小值是－2．
师： 的图像与 的图像有何联系？并请你说出 的值域和最值．
生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍，（横坐标不变）而得到的， ， 的.值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．
师：由例1中 、 与 的图像的联系，我们来探求函数 （ 且 ）的图像与 的图像之间的联系．
函数 （ 且 ）的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 ）到原来的 倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为振幅变换，它是由 的变化而引起的， 叫做函数 的振幅． ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．
（2）函数 与 的图像的联系
【例2】作函数 及 的简图．
解：函数 的周期 ，因此，我们先来作 时函数的简图．
列表：
0
0
0
1
0
－1
0
函数 的周期 ，因此，我们先作 时函数的简图．
列表：
0
0
0
1
0
－1
0
描点作图（图2）
师：利用函数的周期性，我们可将上面的简图向左、右扩展，得出 ， 及 ， 的简图．
请同学们观察函数 与 的图像间的联系及 与 的图像间的联系．
生：在函数 ， 的图像上，横坐标为 （ ）的点的纵坐标同 上横坐标为 的点的纵坐标相等，因此 的图像可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的．
同样， 的图像可以看做把 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）而得到的．
师：由例2中， 、 与 的图像的联系，请你探求函数 （ 且 ）的图像与 之间在联系．
生：函数 （ 且 ）的图像，可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的．这种变换称为周期变换，它是由 的变化而引起的， 与周期 的关系为 ．
3．演练反馈（投影）
1．画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图
（1） （2）
2．函数 ， 的周期是什么？它的图像与正弦曲线有什么联系．
3．说明如何由 ；由
参考答案：
1．
2．周期是 ，把 的图像上每个点的横坐标伸长 倍（纵坐标不变）即得 的图像．
3． 的图像沿 轴方向压缩 得 的图像（纵坐标不变）；把 的图像上纵坐标缩短 倍（横坐标不变），即得 的图像．
4．总结提炼
（1）用“五点法”作 或 的简图时，先要确定周期，再将周期四等份，找出五个关键点：0， ， ， ， ，然后再列表、描点、作光滑曲线连接五个点．
（2） 的图像可以看做是把正弦曲线 图像经过振幅变换而得到．
（3）函数 的图像可以看作是把 实施周期变换而得．
（4）作图时，要注意坐标轴刻度， 轴是实数轴，角一律用弧度制．
（四）板书设计
1．函数 与 的图像的联系
例1
联系
2．函数 与 的图像的联系
例2
联系
小结：演练反馈
总结提炼
解：列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
描点画图：
4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质
(1)与刚才两个图象不同的是， 的图象开口向下.这是因为x是任意实数， ， 即 ，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）
(2)此图象仍然是关于y轴对称的
(3)在y轴的左侧，y随x的.增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小
5、得出一般的规律
一般地，抛物线 的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线 的开口向上，当a<0时，抛物线 的开口向下，a的绝对值越大，图象越靠近y轴.
6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数 的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.
7、作业：习题13.6A组1、2B组1、2
教学设计示例2
第一课时
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生知道二次函数的意义；
2．使学生会用描点法画出二次函数 的图像，并结合 的图像，初步理解抛物线及其有关概念。
（二）能力训练点
1．进一步培养学生用描点法画函数图像的能力；
2．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。
（三）德育渗透点
通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。
（四）美育渗透点
通过本节课的教学，渗透二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。
二、学法引导
教师采用引导发现法，观察法，讲解法
本节的主要内容是理解二次函数的定义，知道二次函数解析式 中字母的意思，在画 的图像时，要知道图形是抛物线，是轴对称图形、列表时，自变量x的值的选取，应以0为中心，对称地选取两对（或三对）互为相反数，最好x取整数值。
三、重点・难点・疑点及解决办法
1．教学重点：二次函数的意义及二次函数 的图像的画法。因为它们是研究二次函数的重要基础。
2．教学难点：正确画出二次函数 的图像。因为它的图像是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数 的图像的具体形状和变化趋势，所以不易把握。
3．教学疑点：（1） ；（2） 的图像的反性质。
4．解决办法：（1）关于二次函数的定义，关键要注意：自变量的最高次数定义，二次项系数 ；（2） 的图像和性质，不可死记硬背，要结合图像理解和掌握二次函数 的几个主要特征，如开口方向，顶点坐标（或位置），对称轴，最大值最小值等。
四、教学步骤
（一）教学过程
首先，我们来看两个实验问题：（出示幻灯）
1．圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式？
这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心。然后把答案写在黑板上留用。
2．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。
这个问题其实就是13.2中的例1，可由学生得出结论，若学生给出的是 ，再继续提问：你能否把函数关系式中的括号去掉？然后把所得的结论写在黑板上。
提问：比较 与 这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的？
用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，板书：
一般地，如果 （a、b、c是常数， ），那么，y叫做x的二次函数。
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数 中的b和c可否为0？若b和c其一为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例： ； ； ，使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？
通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学
做好铺垫．
练习一：P108中1、2 口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因
提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，那么二次函数的图像又是什么样的呢？
这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案．
我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？
这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究 ．另一方面也使同学认识到研
究问题要由简到繁的基本方法．
所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图像方法与步骤，我们应怎样画二次函数 的图像呢？
可由学生先回答画函数图像的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．然后分步骤来研究这个图像的方法．
（1）列表：①自变量x的取值范围是什么？
②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？
③看 ，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系？
学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时， 的值相同．
④若选7个点画图，你准备怎样选？
通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使
学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧．
（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？
②怎样画就可以了呢？
答：x轴的正、负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以．
通过这两个问题可培养学生的作图技巧．
（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上？
②我们应怎样连接这7个点？
让学生先连一次试试，然后教师演示。关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以．
注意：我们所画的只是近似图像．
接下来，让学生观察这个函数图像提问：
1．函数 的图像有什么特点？
答：是轴对称图形．
2．你是怎样判断函数 的图像有上述特征的？
这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度．
学生回答完上面的问题之后就可指出：函数 的图像是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线（板书）
在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲。
再结合图像指出：抛物线 是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0，0）点。
关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：
从图像上直观得到：抛物线 的顶点是图像的最低点：从解析式上看，当 时， 取得最小值0，（0，0）就是抛物线 的顶点坐标。
（二）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．你能否说清二次函数的意义？
注意总结：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自变量的最高次数是2。
2．二次函数 的图像是什么形状的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
五、布置作业
教材P114 1、2、3
六、板书设计
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数 的图象；
2、根据图象观察、分析出二次函数 的性质；
3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识
4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；
5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；
6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.
教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质
教学难点：渗透数形结合的数学思想方法
教学用具：直尺、微机
教学方法：谈话、探究式
教学过程：
1、列表、描点画出函数 与 的图象，引入新课
例：画出函数 与 的图象
解：列两个表
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
分别描点画图
2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.
提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？
（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出， 时所对应的y值分别相等，如 等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.
（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释， 可取
任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.
（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.
（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如： 离y轴近， 离y轴远.从列表中可以看出：如 过点（2，2），而 过点（2，8）也就是说，当x=2时， 的图象所对应的点高于 所对应的点.因此会有上述的结论.
3、画出函数 的图象
与 中的a都是正数，当a<0时， 的图象会是什么样子呢？
我们看例2
第一课时
教学目标
1．使学生会用描点法画出二次函数 与 的图象；
2．使学生能结合图象确定抛物线 与 的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;
4. 在本节的教学中，继续向学生进行数形结合、转化的数学思想方法的渗透；
5. 通过本节课的教学，培养学生事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.
教学重点：画出形如 与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
教学难点：理解函数 、 与 及其图象间的相互关系
教学用具：微机
教学方法：探究式、小组合作学习
教学过程
一、复习引入
提问：1．什么是二次函数？
2．我们已研究过了什么样的二次函数？
3．形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题.
从这节课开始，我们就来研究二次函数 的图象.（板书课题）
二、新课
复习提问：用描点法画出函数 的图象，并根据图象指出：抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标.（插入 的图片）
教师可边提问边打开图片，然后可以找学生来指出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价.
下面，我们来看一下如何完成下面的例题？
例1 在同一平面直角坐标系画出函数 、 、 的图象.（插入课件）
（一）函数对应值表的区别.
列表：
| －3 | －2 | －1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
10 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 | |
9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 7 | |
8 | 3 | 0 | －1 | 0 | 3 | 8 |
列完表之后，让学生观察上表归纳出，对于 与 ，任意一个 的值，解析式 的函数值总比 的函数值小1，对于同一个 值， 值总是小1，抛物线上的点向下平行移动一个单位，图象也向下平移一个单位.对于 与 也这样分析.分析完表后，再让同学们看课件中画出的函数 与 的图象.
（二）图象的区别.
然后，由学生来观察课件上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：
（1）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（3）抛物线 ， 与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
（4）抛物线 ， 与 有什么关系？
通过这四个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．
答：形状相同，位置不同．（继续演示课件，来说明学生观察、推理的正确性，激发学生的兴趣）
关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）
①你所说的形状相同具体是指什么？
答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．
②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
答：因为a的值相同．
通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．
③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？
先由学生思考，讨论之后，给出答案．
答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．（演示动画）
④抛物线 是由抛物线 沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线 呢？
答：抛物线 是由抛物线 沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线 是由抛物线 沿y轴向下平移1个单位得到的．
⑤你认为是什么决定了会这样平移？
答： 中的 的值决定了会这样平移．若 ，则向上平移，若 ，则向下平移．
练习一 教材P118中1学生独立完成，口答．
下面，我们再来看一类二次函数的图象：（演示动画）
例2在同一平面直角坐标系内画出 与 的图象．（插入动画）
注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时 的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时 的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后，与例l一样处理，演示课件直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成．
注意：（l）关于抛物线 与 的对称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书P．113—115，这个问题就好解决了.若没有读过，可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.
（2）这次图象的平移是沿 轴进行的，平移的单位和方向是由 中的 决定的，特别强调二次函数形式的写法是 ，而不是 .
练习二P118中2学生独立完成，口答.
三、本节小结
本节课学习了二次函数 与 的图象的画法，主要内容如下。
（出示幻灯）填写下表：（可让学生回答）
表一：
抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
表二：
抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
八、布置作业
教材P124中1（1）、（2）
九、板书设计
13．7二次函数 的图象（一） 例1： 例2： 小结： 小结： |
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教学设计示例1
课题：二次函数 的图象
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数 的图象；
2、根据图象观察、分析出二次函数 的性质；
3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识
4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；
5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；
6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.
教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质
教学难点：渗透数形结合的数学思想方法
教学用具：直尺、微机
教学方法：谈话、探究式
教学过程：
1、列表、描点画出函数 与 的图象，引入新课
例：画出函数 与 的图象
解：列两个表
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
8 | 4.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 4.5 | 8 |
x | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
8 | 4.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 4.5 | 8 |
分别描点画图
2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.
提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？
（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出， 时所对应的y值分别相等，如 等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.
（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释， 可取
任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.
（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.
（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如： 离y轴近， 离y轴远.从列表中可以看出：如 过点（2，2），而 过点（2，8）也就是说，当x=2时， 的图象所对应的点高于 所对应的点.因此会有上述的结论.
3、画出函数 的图象
与 中的a都是正数，当a<0时， 的图象会是什么样子呢？
我们看例2
例2、画出函数 的图象
解：列表：
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 |
描点画图：
4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质
(1)与刚才两个图象不同的是， 的图象开口向下.这是因为x是任意实数， ， 即 ，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）
(2)此图象仍然是关于y轴对称的
(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小
5、得出一般的规律
一般地，抛物线 的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线 的开口向上，当a<0时，抛物线 的开口向下，a的绝对值越大，图象越靠近y轴.
6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数 的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.
7、作业 ：习题13.6A组1、2B组1、2
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