下面是小编为大家整理的用三段论证明（共含12篇），供大家参考借鉴，希望可以帮助您。同时，但愿您也能像本文投稿人“我有名字的好吗”一样，积极向本站投稿分享好文章。
用三段论证明
用三段论证明在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如上例中的“知识分子都是应该受到尊重的”;含有小项的前提叫小前提，如上例中的“人民教师是知识分子”。三段论 (syllogism)是传统逻辑中的一类主要推理。又称直言三段论。古希腊哲学家亚里士多德首先提出了关于三段论的系统理论。
形式逻辑 间接推理的基本形式之一，由大前提和小前提推出结论。如‘凡金属都能导电’(大前提)，‘铜是金属’(小前提)，‘所以铜能导电’(结论)。这称为三段论法或三段论式。
三段论属于一种演绎逻辑，是不同于归纳逻辑的，具有较强的说服力。
小前提：函数x-1在[1,∞)上是增函数 大前提：根号内的x在[0,∞)上是增函数 结论：函数f(x)=根号x-1在[1,∞)上是增函数 厉害吧 哈哈
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(1)如果有一个前提是否定判断，则大前提为全称判断;(2)如果大前提是肯定判断，则小前提为全称判断;(3)如果小前提是肯定判断，则结论为特称判断;(4)任何一个前提都不能是特称否定判断;(5)结论不能是全称肯定判断;麻烦哪位大虾帮小弟证明下这五点可以吗
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四格规则：中项在大前提中作谓项，在小前提中作主项。 1、前提之一否定，大前提全称。 2、大前提肯定，则小前提全称。 3、小前提肯定，则结论特称。 4、前提中不得有特称否定判断。 5、结论不能是全称肯定判断。 证明1： 如果两个前提中有一个是否定的，结论也必然是否定的(前提之一否定，结论是否定的); 结论否定，则大项周延(否定判断的谓项周延); 大项在第四格中处于前提的主项，只有全称时主项周延; 所以，大前提必须全称。 证明2： 如果大前提肯定，在大前提中中项不周延(肯定判断谓项不周延); 只有小前提全称，中项才周延一次(全称判断主项周延); 三段论要求中项至少周延一次; 所以，大前提肯定，则小前提全称。 证明3： 如果小前提肯定，小项在前提中不周延(肯定判断谓项不周延); 如果结论全称，则在结论中小项周延，违反了在前提中不周延的.项在结论中也不得周延规则; 所以：小前提肯定，则结论特称。 证明4： 如果大前提否定，结论必要否定(前提之一否定，结论是否定的); 则大项在结论中周延(否定判断的谓项周延); 如果大前提特称，大项在前提中不周延(特称判断的主项不周延); 这样，就违反了在前提中不周延的项在结论中也不得周延规则; 因此，大前提不能是特称否定。 如果小前提否定，大前提必肯定(两个否定的前提推不出结论); 则中项在大前提中不周延(肯定判断谓项不周延); 小前提否定，中项在小前提中也不周延(特称判断的主项不周延); 三段论规则要求中项在前提中至少周延一次; 因此，小前提不能是特称否定。 所以，前提中不得有特称否定判断。 证明5： 如果结论是全称肯定判断，则小项在结论中周延(全称判断主项周延); 则大项在结论中不周延(肯定判断谓项不周延); 则小前提必否定才使小项在前提中周延(在前提中不周延的项在结论中也不得周延); 但如果小前提否定，结论必然否定(前提之一否定，结论是否定的) 与结论为肯定判断矛盾; 所以，结论不能是全称肯定判断。
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在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如上例中的“知识分子都是应该受到尊重的”;含有小项的前提叫小前提，如上例中的“人民教师是知识分子”。三段论 (syllogism)是传统逻辑中的一类主要推理。又称直言三段论。古希腊哲学家亚里士多德首先提出了关于三段论的系统理论。
形式逻辑 间接推理的基本形式之一，由大前提和小前提推出结论。如‘凡金属都能导电’(大前提)，‘铜是金属’(小前提)，‘所以铜能导电’(结论)。这称为三段论法或三段论式。
三段论属于一种演绎逻辑，是不同于归纳逻辑的，具有较强的说服力。
用综合法证明
用综合法证明接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的.推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。
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1. 直接证明
2. 间接证明
3数学归纳法(Induction)
1. 归纳基础: P(1)
2. 归纳步骤: (m>=1&P(m))->P(m+1), “ m.
递归方法
如果一个对象部分地由自己所组成，或者按它自己定义，则称为是递归的递归定义的函数f, f的定义域: 非负整数集
1. 递归基础: f(0)
2. 递归步骤: f(n)=g(f(k)) k=0.
(3)
公里就是一定是正确de，无需证明，直接可以判断，基本是没有数学知识的人也知道的
而定理是通过公里可以证明的，需要一定数学知识
3
1.[/a//b/]÷v/a-b/w≤√2
等价于|a|+|b|≤√2|a-b|，
平方得a+b+2|ab|≤2(a+b-2|ab|)
整理得a+b-2|ab|≥0，
即(|a|-|b|)≥0，
该式明显成立 ，所以原不等式成立.
2.利用均值不等式得
a/b+b≥2a，b/c+c≥2b，c/a+a≥2c，
三式相加得a/b+b/c+c/a≥ab
4a>0,b>0
(a-b)^2(a+b)≥0
a^3+b^3-a^2b-ab^2≥0
a^3+b^3≥a^2b+ab^2
3a^3+3b^3≥3a^2b+3ab^2
4a^3+4b^3≥a^3+b^3+3a^2b+3ab^2
4(a^3+b^3)≥(a+b)^3
(a^3+b^3)/2≥(a+b)^3/8
(a^3+b^3)/2≥[(a+b)/2]^3
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用不等式x+y+z≥3xyz (x>0，y>0，z>0)
令 M=(a+b)/2，
因为 (a/M)+1+1≥3a/M
(b/M)+1+1 ≥3b/M
两式相加，得 (a/M)+(b/M)+4≥6
所以 (a/M)+(b/M)≥2
(a+b)/2≥M
即 (a+b)/2≥[(a+b)/2]
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用分析法找到证明思路，用综合法写出证明，具体如下
当0 ∴a-1<0,∴(a-1)>0
∴a-2a+1>0
∴a+1>2a
∵0 ∴loga(a+1)
证明：要证|(x- y)/(1-xy)|<1
需证|x- y|<|1-xy|
需证|x- y|^2<|1-xy|^2
需证(x-y)^2<(1-xy)^2
需证x^2-2xy+y^2<1-2xy+(xy)^2
需证x^2+y^2<1+(xy)^2
需证1+(xy)^2-(x^2+y^2)>0
需证(1-x^2)-y^2(1-x^)>0
需证(1-x^2)(1-y^2)>0
|x|<1,|y|<1得到 |x|^2<1,|y|^2<1
得到x^2<1,y^2<1
1-x^2>0 1-y^2>0
所以(1-x^2)(1-y^2)>0
所以|(x- y)/(1-xy)|<1成立
2
要使√ac-√bd>√(a-b)(c-d)
必使ac-2√acbd+bd>(a-b)(c-d)
化简得-2√acbd>-ad-bc
即ad+bc>2√acbd
又因为a>b>0, c>b>0,
由均值不等式得
3
a-b=tanα+2tanαsinα+sinα-tanα+2tanαsinα-sinα
=4tanαsinα
左边=16tanαsinα
=16tanα(1-cosα)
=16tanα-16tanαcosα
=16tanα-16sinα/cosα*cosα
=16tanα-16sinα
右边=16(tanα-sinα)
所以左边=右边
命题得证
4、
】
(根6+根7)平方=13+2*根42
2倍的`跟2=根8
(根8+根5)平方=13+2根40
2*根42-2*根40大于0
故成立。
补充上次的题。(根3+根2)(根5-根3)不等于1就行了，不必繁琐求大于1.前提是0 (1/a)+1/(1-a)>=4
1/[a(1-a)]>=4
0 0=0
0=0
0=0成立
其上均可逆
证毕
用余弦定理证明
用余弦定理证明由正弦定理得cSinB=bSinC
带入给定的式子得
SinC=SinB(1+2CosA)①
C+A+B=π②
将②带入①得
Sin(π-A-B)=SinB+2SinBcosA
SinAcosB+SinBcosA=SinB+2SinBcosA
SinAcosB=SinB+SinBcosA
Sin(A-B)=SinB
所以A-B=B或∏-(A-B)=B(舍)
所以A=2B
2
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因为cosC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
题目中^2表示平方。
2
谈正、余弦定理的多种证法
聊城二中 魏清泉
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则
(1)(正弦定理) = = ;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.
一、正弦定理的'证明
证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有
AD=bsin∠BCA，
BE=csin∠CAB，
CF=asin∠ABC。
所以S△ABC=abcsin∠BCA
=bcsin∠CAB
=casin∠ABC.
证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。
证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆
的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。
因为AB=AC+CB，
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.
因为jAC=0，
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .
二、余弦定理的证明
法一：在△ABC中，已知 ，求c。
过A作 ，
在Rt 中， ，
法二：
，即：
法三：
先证明如下等式：
⑴
证明：
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得
结合⑴、 有
即 .
同理可证
.
三、正余弦定理的统一证明
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
根据向量的运算：
=(-acos B,asin B)，
= - =(bcos A-c,bsin A),
(1)由 = ：得
asin B=bsin A,即
= .
同理可得： = .
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
同理：
c2=a2+b2-2abcos C;
b2=a2+c2-2accos B.
法二：如图5，
,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知
，
即
将(1)式改写为
化简得b2-a2-c2=-2accos B.
即b2=a2+c2-2accos B.(4)
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.
参考文献：
【1】孟燕平?抓住特征，灵活转换?数学通报第11期.
【2】《中学生数学》(上)3月上
【3】《数学(必修5)》人民教育出版社
推理的种类是根据一定的标准进行划分的。根据推理前提数量的不同，可分为直接推理和间接推理;根据推理的方向，即思维进程中是从一般到特殊，或从特殊到一般，或从特殊到特殊的区别，传统逻辑将推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理三大类。
就初中数学而言，三段论推理是一种重要的演绎推理，它是性质判断三段论推理的简称，由两个包含着一个共同项的性质判断推出一个性质判断的演绎推理。三段论中的三个性质判断的名称分别为大前提、小前提和结论。包含大项的前提为大前提，包含小项的前提为小前提，包含大项和小项的判断为结论。比如，所有的植物都是需要水分的(大前提)，小麦是植物(小前提)，所以，小麦也是需要水分的(结论)。三段论作为一种思维方式，其包含的三个性质判断通常都是以大前提、小前提、结论这样的顺序排列。但用自然语言表达三段论时，语句顺序是灵活的，而且常常使用省略形式(有省略大前提或小前提或结论等形式)。例如，口语中常说“这是学校规定的呀”，把它补充完整就是：凡是学校规定都是应该执行的(大前提)，这句话是学校规定的(小前提)，所以，这句话应该被执行(结论)。
三段论推理作为一种基础性的推理，最能体现逻辑推理的思维方式的特点，在初中几何应用中最基本最广泛的推理，学生较容易理解和掌握。因此应作为初中生逻辑推理能力培养的重点和切入点。
1.定义
三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理。它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论。一个正确的三段论有且仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项;出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项;出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项。
举例:所有的偶蹄目动物都是脊椎动物，牛是偶蹄目动物;所以牛是脊椎动物。
上面的三段论推理，“偶蹄目动物”是连接大小前提的中项;“脊椎动物”是出现在大前提中又在结论中做谓项的“大项”;“牛”是出现在小前提中又在结论中做主项的“小项”。习惯上用“M”表示“中项”,用“P”表示“大项”,用“S”表示“小项”。
2.规则
人们根据三段论公理，总结出三段论的一般推理规则，使之成为判定三段论是否有效的标准。 三段论的一般规则共有七条，其中前五条是基本规则，后两条是导出规则。在这七条规则中，前三条是关于词项的规则;后四条是关于前提与结论的规则。
一般规则如下:
(1)一个正确的三段论，有且只有三个不同的项。
三段论的实质就是借助于一个共同项即中项作为媒介，使大小项发生逻辑关系，从而导出结论的。如果一个三段论只有两个词项或四个词项，那么大小项就找不到一个联系的共同项，因而无从确定大小项之间的关系。因此，一个正确的三段论仅允许有三个不同的词项。
例如:
通货是作为流通手段的货币，通货是通货;所以通货是作为流通手段的货币。
反映一类事物的概念是普遍概念，普遍概念是反映一类事物的概念;所以普遍概念是普遍概念。
运动是永恒的，足球运动是运动;所以足球运动是永恒的。
大学生都应当热爱自己的专业，小李是大学生，所以小李热爱自己的专业。
上述推论 和 仅有两个词项，造成了无意义的同语反复，不可能推出什么新的断定。 和 都是错误的，从词项形式看它们都是具有三个词项推理，但实际上它们都是犯了“四词项”逻辑错误。例 的中项“运动”在大小前提中表达的不是同一概念。大前提中的“运动”是哲学意义上概念，指物质的根本属性之一。小前提中的“运动”指“体育运动”。例 大前提中的“大学生”是在集合意义上使用的概念，小前提中的“大学生”是在非集合意义上使用的概念。所以例 和例 都具有四个词项。这种表面上是三个词项，实质是四个词项的错误，就叫做“四词项错误”。
(2)三段论的中项至少要周延一次。
中项是联系大小前提的媒介。如果中项在前提中一次也没有周延，那么，中项在大小前提中将会出现部分外延与大项相联系，并且部分外延与小项相联系，这样大小项的关系就无法确定。
例如:
某系同学都是共青团员，某班同学都是共青团员，所以，某班同学都是某系的学生。
上面的中项两次不周延的推理显然无法得出结论，因为某班同学也可能是某系的学生，也可能不是。
中项不能在大小前提中两次不周延。若中项在大小前提中周延一次或周延两次，情况又如何呢? 如果中项周延一次，那么就会有一个中项的全部外延和大项或小项发生了肯定或否定的关系，从而产生媒介作用，使大小前提发生联系推出必然结论。
例如:
知识分子是劳动者，李教授是知识分子，所以李教授是劳动者。
知识分子不是剥削者，李教授是知识分子，所以李教授不是剥削者。
凡作案者都有作案动机，某人没有作案动机;所以某人不是作案者。
上述例子都是仅有一个中项是周延的，它们都能推出必然结论，大小前提与结论的联系都是必然的。
如果中项周延两次，只要大小前提不都是否定的，那么，中项的全部外延就会分别与大项、小项发生联系，起到联结大小项的作用，从而使三段论推出必然的结论。
例如:
鸭嘴兽是卵生的哺乳动物，鸭嘴兽是澳洲的动物，所以，有的澳洲动物是卵生的哺乳动物。
鸭嘴兽不是胎生的哺乳动物，鸭嘴兽是澳洲的动物，所以，有的澳洲动物不是胎生的哺乳动物。
鸭嘴兽不是胎生的哺乳动物，鸭嘴兽也不是亚洲的动物，所以，(?)
上述三个例子，前两个都是正确的，第三个是错误的。前两个的前提或都是肯定的，或一个肯定一个否定，这样，中项与大小项均发生了联系，中项就起到联结大小前提的作用，从而使这两个三段论推出必然结论。第三个例子，中项虽然周延两次，但两个前提都是否定的，中项无法起到联结大小前提的作用，因此不能推出结论。
综上所述，一个正确的三段论(只要两个前提不都是否定的)，它的中项至少应周延一次。
(3)在前提中不周延的词项，在结论中不得周延。
本条规则与性质判断直接换位推理的规则相同。如果前提中的大项或小项是不周延的，那么它们的大项或小项的外延就没有被全部断定，若结论中的大项或小项变为周延的，那么就等于断定了大项或小项的全部外延。这样，造成了前后不一致，所推出的结论当然是不可靠的，其结论也不是由前提必然推出的。违反这条规则，所犯的逻辑错误称为“大项不当扩大”或“小项不当扩大”。
例如:
先进工作者都是工作有成绩的人，老王不是先进工作者，所以老王不是工作有成绩的人。
金属都是导电体，橡胶不是金属，所以橡胶不是导电体。
金属都是导电体，金属都不是绝缘体，所以，所有绝缘体都不是导电体。
某人是教授，某人是北京大学的，所以，北京大学的都是教授。
上面的例子 所犯的逻辑错误都是“大项不当扩大”。例 所犯的逻辑错误是“小项不当扩大”。从上面的例子来看，结论有假有真，这说明违反本条规则所推出的结论是不可靠的，也就是说，从前提推出的结论不是必然得出的，而是或然的。我们不能因为有例 例 这种能够推出真实结论的推理，就认为例 例 是有效性推理。能够偶然推出真实结论的推理形式并非是有效的，凡是有效推理的逻辑形式，代入任何推理内容，只要前提真实，就一定能够推出真实的结论。
(4)两个否定前提不能推出结论。
如果两个前提都是否定的，那么中项同大小项发生排斥。这样，中项就无法起到联结大小前提的作用，小项同大项的关系也就无法确定，因而推不出结论。下面举两个例子说明该规则。
铜(M)都不是绝缘体(P)，而铁(S)不是铜(M)，所以铁(S)不是绝缘体(P)。
羊(M)不是肉食动物(P)，而虎(S)不是羊(M)，所以虎(S)不是肉食动物(P)。
上面两例，前提都是真实的，但由于形式无效，所以推出的结论有或然性。
(5) 前提有一个是否定的，其结论必是否定的;若结论是否定的，则前提必有一个是否定的。
该规则是导出规则。若一个三段论的大前提是否定的，那么，中项与大项这两者的外延就必然是互相排斥的，据规则(4)“两个否定前提不能推出结论，这样,小前提就只能是肯定的。若小前提是肯定的，那么，小前提中的中项和小项的外延就必然具有相容关系。这样，通过中项的媒介作用，小项就会与大项的外延相排斥，从而推出必然性结论。同理，若小前提是否定的，那么，中项与小项的外延相排斥;据规则(4) ，大前提只能是肯定的，则中项与大项的外延就必然具有相容关系。这样，通过中项的媒介作用，小项就会与大项的外延相排斥，从而推出必然性结论。
从另一个角度看，若前提都是肯定的，而结论是否定的，那么，结论的小项和大项的关系，或是真包含关系,或是交叉关系，或是全异关系,而实际上大小肯定前提通过中项联结，小项和大项的外延关系可能是全同关系，或真包含于关系，或真包含关系，或交叉关系，这样在前提中蕴涵的小项与大项的关系同结论中的小项与大项的关系存在着差异，从而使结论失去可靠性，其逻辑形式也必然是无效的。
(6)两个特称前提推不出结论
两个前提都是特称判断，对于三段论来说，共有四种组合情况。即II、OO、OO、OI。下面分别进行分析。
如果两个前提是II式，则两个前提中的主谓项均是不周延的。这样，不论中项位于两个前提的主项还是谓项，都不可能周延，必然违反规则(2) ，其推理形式也是无效式。
如果两个前提是OO式，则违反了规则(4)。因此其推理形式也是无效式。
如果两个前提是IO式，则违反规则(3) 。因为大项无论是I判断的主项还是谓项，都不可能是周延的，而据规则(5) 结论应是否定的，这样结论的大项是周延的，从而就一定违反规则(3)，其推理式也是无效式。
如果两个前提是OI式，则或违反规则(2)，或违反规则(3)。若中项是大前提O判断的主项，同时小前提中的中项或是其主项或是谓项，则两个中项在大小前提中都不周延，必然违反规则(2)。若大项P是大前提O判断的主项，而据规则(5)结论必是否定的,这样大项P在大前提中不周延而在结论中周延,就必然违反规则(3)。
所以，大小前提若都是特称的，则必然是无效式。
(7)前提中有一个是特称的，结论必须也是特称的。
根据规则(6) ，两个特称前提推不出结论，所以，一个正确三段论，前提若有一个是特称, 则另一个前提就必然是全称的。这样有一个前提是特称的三段论，其大小前提的组合则有四种类型八种形式:
AI--IA AO--OA EI--IE EO--OE
上述四组中的“EO--OE”因两个前提都是否定的，违反规则(4) ，所以该组可以直接排除，这样，可分析的就剩下三组。
如果大小前提是由AI组成，不管它们谁是大小前提，那么它们的周延项只有A判断的主项，为了遵守规则(2) ，中项必须位于A判断的主项，这样大小项就位于A判断的谓项和I判断的主谓项，并且都是不周延的。若在此情况下，结论的小项周延，必违反规则(3) ，所以，以AI为前提的三段论，其结论的小项只能是特称的。
如果大小前提由AO组成，不管它们谁是大小前提，那么它们的周延项有A判断的主项和O判断的谓项。根据规则(5) ，结论只能是否定判断，若结论是否定判断，则大项在结论中是周延的，为了遵守规则(3) ，大项只能在A判断主项或O判断的谓项的位置上，为了遵守规则(2) ，中项也只能在A判断主项或O判断的谓项的位置上，这样，小项只能在不周延的项即A判断的谓项或O判断的主项的位置上，若结论的小项是全称的，就必然违反规则(3)，所以结论的小项只能是特称的。
如果大小前提是IE，那么，由于大前提I主谓项都不周延，而根据规则(5)，其结论又只能是否定判断，即大项在结论中是周延的，这样只要大项在I判断主项或谓项的位置上，就必然违反规则(3) ，所以IE为前提不能成立。若大小前提是EI，那么其周延项有E判断主项和谓项，为了不违反规则(2) ，保证中项周延一次，为了不违反规则(3) ，保证大项在结论中不扩大，小项只能位于I判断主项或谓项，这样，若结论的小项是周延的就必违反规则(3) 。所以以EI为前提，其结论也只能是特称判断。
要想使一个三段论有效，就必须遵守一般规则。三段论的一般规则有如下七条:
规则1:在一个三段论中，有而且只能有三个不同的项。
三段论实际上是通过前提所表明的中项(M)分别与大项(P)和小项(S)发生的关系，从而推导出关于小项与大项之间关系的结论。若没有中项，就推不出任何结论来。正是在这种意义下，我们说中项是联结大项和小项的桥梁或媒介。只有三个概念分别出现两次时，才能构成三个命题，多于或者少于三个概念都不能构成或者不只构成三个命题。常见的“四词项错误”，或称“四概念错误”的情形是:在大、小前提中作为中项的语词看起来是同一个，但却表达着两个不同的概念，因而这个三段论事实上含有四个不同的项，严格说来就没有中项，也就没有联结大项和小项的桥梁和媒介，结论的得出就不是必然的。这种错误叫做“四词项错误”，或称“四概念错误”。
规则2:中项在前提中至少要周延一次。
三段论是凭借在前提中的桥梁、媒介作用得出结论的，即大项、小项至少有一个与中项的全部发生关系，另一个与中项的部分或者全部发生关系，这样就能保证大、小项之间有某种关系。否则，大、小项都只与中项的一部分发生关系，这样就有可能大项与中项的这个部分发生关系，而小项则与中项的另一个部分发生关系，结果是大项和小项之间没有关系，得不出必然的结论来。违反这条规则所犯的逻辑错误称为“中项两次不周延”。
请看下面的一个三段论:
教授都是老师;
小张是老师;
所以，。
这个三段论是无法得出确定结论的。原因在于作为中项的“老师”在前提中一次也没有周延(在两个前提中，都只断定了“教授”、“小张”是“老师”的一部分对象)，因而“小张”和“教授”究竟处于何种关系就无法确定，也就无法得出必然的确定结论。如果违反这条规则，就要犯“中项不周延”的错误，这样的推理就是不合逻辑的。
规则3:在前提中不周延的项，在结论中不得周延。
违反这条规则所犯的逻辑错误是“周延不当”，具体有“小项周延不当”和“大项周延不当”两种表现形式。
例如:樱花是植物;
丁香花不是樱花;
所以，丁香花不是植物。
在这个三段论中，大项“植物”在大前提中不周延而在结论中周延，犯了“大项不当周延”或“大项不当扩大”的错误。
规则4:从两个否定前提推不出任何确定的结论。
如果两个前提都是否定的，这就意味着大项和小项都至少与中项的部分或者全部不相交，这样就不能保证大项和小项由于与中项的同一个部分相交而彼此之间发生关系，中项起不到联结大、小项的桥梁作用，大项和小项本身就可能处于各种各样的关系之中，从而得不出确定的结论。
规则5:①如果两个前提中有一个是否定的，那么结论是否定的。
如果两个前提中有一个是否定的，根据规则4，另一个前提必须是肯定的，这就意味着:大项和小项中有一个与中项发生肯定性的联系，另一个与中项发生否定性的联系。于是，与中项发生肯定性联系的那一部分和与中项发生否定性联系的那一部分之间的联系，必定是否定性的，所以结论必须是否定的。
例如:一切有神论者都不是唯物主义者;某人是有神论者;所以，某人不是唯物主义者。
在这个推理中，大前提是否定的，所以，结论也就是否定的了。那么，为什么结论是否定的，前提之一必然是否定的呢?这是因为，如果结论是否定的，那一定是由于前提中的大、小项有一个和中项结合，而另一个和中项排斥。这样，大项或小项同中项相排斥的那个前提就是否定的，所以结论是否定的则前提之一必定是否定的。从另一个方面来说，如果结论是否定的，那就意味着它否定了包含关系。但是，肯定的前提则是反映了包含关系，因此，由两个肯定的前提推不出否定的结论。也就是说，两个肯定前提不能得到否定的结论。
②如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的。
既然结论是否定的，大项和小项之间发生否定性联系，并且这种联系是通过中项的媒介作用建立起来的，那么这两个词项中必定有一个与中项发生肯定性关联，另一个与中项发生否定性关联。所以，前提必定有一个是否定的。由两个肯定的前提推不出否定的结论。也就是说，两个肯定前提不能得到否定的结论。
例如:有些动物是哺乳动物;
哺乳动物是胎生动物;
所以，有些胎生动物不是哺乳动物。
这个例子就违反了这条规则，从两个肯定的前提中得出了否定的结论，因此是不正确的推理。
规则6:从两个特称前提不能得出结论。
规则7:如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。
1.三段论及其结构
三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理。例如:
知识分子都是应该受到尊重的，
人民教师都是知识分子，
所以，人民教师都是应该受到尊重的。
其中，结论中的主项叫做小项，用“S”表示，如上例中的“人民教师”;
结论中的谓项叫做大项，用“P”表示，如上例中的“应该受到尊重”;
两个前提中共有的项叫做中项，用“M”表示，如上例中的“知识分子”。
在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如上例中的“知识分子都是应该受到尊重的”;含有小项的前提叫小前提，如上例中的“人民教师是知识分子”。
三段论推理是根据两个前提所表明的中项M与大项P和小项S之间的关系，通过中项M的媒介作用，从而推导出确定小项S与大项P之间关系的结论。
2、三段论的一般规则
(1)在一个三段论中，必须有而且只能有三个不同的概念。
为此，就必须使三段论中的三个概念，在其分别重复出现的两次中，所指的是同一个对象，具有同一的外延。违反这条规则就会犯四概念的错误。所谓四概念的错误就是指在一个三段论中出现了四个不同的概念。四概念的错误又往往是由于作为中项的概念未保持同一而引起的。比如:
我国的大学是分布于全国各地的;
清华大学是我国的大学;
所以，清华大学是分布于全国各地的。
这个三段论的结论显然是错误的，但其两个前提都是真的。为什么会由两个真的前提推出一个假的结论来了呢?原因就在中项(“我国的大学”)未保持同一，出现了四概念的错误。即“我国的大学”这个语词在两个前提中所表示的概念是不同的。在大前提中它是表示我国的大学总体，表示的是一个集合概念。而在小前提中，它可以分别指我国大学中的某一所大学，表示的不是集合概念，而是一个一般的普遍概念。因此，它在两次重复出现时，实际上表示着两个不同的概念。这样，以其作为中项，也就无法将大项和小项必然地联系起来，从而推出正确的结论。
(2)中项在前提中至少必须周延一次。
如果中项在前提中一次也没有被断定过它的全部外延(即周延)，那就意味着在前提中大项与小项都分别只与中项的一部分外延发生联系，这样，就不能通过中项的媒介作用，使大项与小项发生必然的确定的联系，因而也就无法在推理时得出确定的结论。例如，有这样的一个三段论:
一切金属都是可塑的，
塑料是可塑的，
所以，塑料是金属。
在这个三段论中，中项的“可塑的”在两个前提中一次也没有周延(在两个前提中，都只断定了“金属”、“塑料”是“可塑的”的一部分对象)，因而“塑料””和“金属”究竟处于何种关系就无法确定，也就无法得出必然的确定结论，所以这个推理是错误的。
如果违反这条规则，就要犯“中项不周延”的错误，这样的推理就是不合逻辑的。
(3)大项或小项如果在前提中不周延，那么在结论中也不得周延。
比如:
运动员需要努力锻炼身体;
我不是运动员;
所以，我不需要努力锻炼身体。
这个推理的结论显然是错误的。这个推理从逻辑上说错在哪里呢?主要错在“需要努力锻炼身体”这个大项在大前提中是不周延的(即“运动员”只是“需要努力锻炼身体”中的一部分人，而不是其全部)，而在结论中却周延了(成了否定命题的谓项)。这就是说，它的结论所断定的对象范围超出了前提所断定的对象范围，因而在这一推理中，结论就不是由其前提所能推出的。其前提的真也就不能保证结论的真。这种错误逻辑上称为“大项不当扩大”的错误(如果小项扩大则称“小项不当扩大”的错误)。
(4)两个否定前提不能推出结论;前提之一是否定的，结论也应当是否定的;结论是否定的，前提之一必须是否定的。
如果在前提中两个前提都是否定命题，那就表明，大、小项在前提中都分别与中项互相排斥，在这种情况下，大项与小项通过中项就不能形成确定的关系，因而也就不能通过中项的媒介作用而确定地联系起来，当然也就无法得出必然确定的结论，即不能推出结论了。比如:
一切有神论者都不是唯物主义者;
某某人不是有神论者;
所以?
那么，为什么前提之一是否定的，结论必然是否定的?这是因为，如果前提中有一个是否定命题，另一个则必然是肯定命题(否则，两个否定命题不能得出必然结论)，这样，中项在前提中就必然与一个项是否定关系，与另一个项是肯定关系。这样，大项和小项通过中项联系起来的关系自然也就只能是一种否定关系，因而结论必然是否定的了。例如:
一切有神论者都不是唯物主义者;
某人是有神论者;
所以，某人不是唯物主义者。
为什么结论是否定的，前提之一必定是否定的呢?因为如果结论是否定的，那一定是由于前提中的大、小项有一个和中项结合，而另一个和中项排斥。这样，大项或小项同中项相排斥的那个前提就是否定的，所以结论是否定的则前提之一必定是否定的。
5.两个特称前提不能得出结论;前提之一是特称的，结论必然是特称的。
例如:
有的同学是运动员;
有的运动员是影星;
所以?
由这两个特称前提，我们无法必然推出确定的结论。因为，在这个推理中的中项(“运动员”)一次也未能周延。又如:
有的同学不是运动员;
有的运动员是影星;
所以?
这里，虽然中项有一次周延了，但仍无法得出必然结论。因为，在这两个前提中有一个是否定命题，按前面的规则，如果推出结论，则只能是否定命题;而如果是否定命题，则大项“影星”在结论中必然周延，但它在前提中是不周延的，所以必然又犯大项扩大的错误。
因此两个特称前提是无法得出必然结论的。那么，为什么前提之一是特称的，结论必然是特称的呢?例如:
所有大学生都是青年;
有的运动员是大学生;
所以，有的运动员是青年。
这个例子说明，当前提中有一个判断是特称命题时，其结论必然是特殊命题;否则，如果结论是全称命题就必然会违反三段论的另几条规则(如出现大、小项不当扩大的错误等)。
摘自复旦大学出版社《硕士专业学位研究生入学资格考试GCT新奇迹应试教程》
趣味题:
1、小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天，张老师把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是那一天吗?
3月4日 3月5日 3月8日
6月4日 6月7日
9月1日 9月5日
12月1日 12月2日 12月8日
小明说:如果我不知道的话，小强肯定也不知道
小强说:本来我也不知道，但是现在我知道了
小明说:哦，那我也知道了
请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天?
2、在A.B.C三个试管中分别盛有10克、20克、30克水，把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，再混合后又从B中取出10克倒入C中，混合后C中的盐水浓度是0.5%。开始时倒入A中的盐水浓度是百分之几?”
C中的溶质:(30+10)×1%=0.4克 (来自于B)
B中的浓度:0.4/10×100%=4%
B中的溶质:(20+10)×4%=1.2克 (来自于A)
A中的浓度:1.2/10×100%=12%
A中的溶质:(10+10)×12%=2.4克 (来自于盐水)
盐水的浓度:2.4/10×100%=24%
思路剖析
根据题目中”现在C中的盐水浓度是1%"的条件,可以求出现在C管的盐水中盐的质量.又因为C管中原来只有30克水,它的盐是从B管里取出的10克盐水中来的,由此可求出B管里30克盐水中含多少克盐.而B管里盐又是从A管里取出的10克盐水中来的,由此可求出A管里20克盐水中共有多少克盐.而A管里的盐就是某种浓度的盐水中的盐,用盐的质量除以盐水质量(10克)即可求出盐水的浓度.
兹证明______先生/女士(身份证号：_________________)，为我司员工，因工作关系现居住在我司宿舍(地址__________________)。
特此证明!
单位：(盖章)
______年____月____日
今证明_________，男，_________年生，身份证号：_________，自_________年_________组租房居住,特此证明。
_________区社区居委会
___年___月___日
员工姓名：________，身份证号：________，联系电话：________，现为我公司员工，居住在公司员工宿舍。现其申请办理居住证，特此证明。
单位地址：________。
单位：(盖章)
______年____月____日
【起诉用居住证明模板（通用6篇）】
兹___先生/女士为个体经营户(小规模纳税人)，现已经营___年，任法人代表，现在的每月的主营业务收入为_____。
联系电话：
联系人：
个体经营户名称：
用数学归纳法证明
用数学归纳法证明1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - n+2/2^n.
1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - (n+2)/2^n.
1、当n=1时候，
左边=1/2;
右边=2-3/2=1/2
左边=右边，成立。
2、设n=k时候，有：
1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2 - (k+2)/2^k成立，
则当n=k+1时候：有：
1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)
=2 - (k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)
=2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1)
=2-(k+3)/2^(k+1)
=2-[(k+1)+2]/2^(k+1)
得证。
我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.
比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列
如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.
我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.
结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.
用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.
怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.
这说明你一眼能看出答案，是个本领。
然而，考试是要有过程的'，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。
比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过，就说明答案是唯一的!比如x + y = 2.我们都知道这是由无数组解的方程。但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所以你的证明方法是严格错误的!
你的这种思想本身就是经不起推敲的，学习数学不是会做多少题，而是给自己建立一套缜密的思维。你的这种思维在学习过程中是一个巨大的绊脚石，你现在做的就是假设某某正确，然后拼死维护它的正确，即使有不严密的地方你也视而不见。我说过，你有一眼看出答案的本领，这只是本领而已，填空题你有优势。但是如果你缺少了证明的思维，证明的本领，那你就成了一个扶不起来的阿斗。最可怕的是你的这个思想：褒一点说善于投机取巧，贬一点说，就是思维惰性，懒。
说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。但是证明起来就不是那么容易了，答案不是看出来的，是算出来的。你的解法就是告诉大家，所有的答案都是看出来，然后代入证明的。假设看不出来怎么办?那就无所适从，永远也解不出来了!这就是你的做法带来的答案，你想想呢?你的这种做法有什么值得推广的?
OK,了解!
数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。在n=1时成立;假设n=k成立，则n=k+1成立。这两个结论确保了n属于N时成立，这是严密的。
你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案(首项和公比均已知)，不能说明你的证明方法有误。我的本意是：任何一种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证明的;而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的结论。未经证明，(即使它很严密，我说即使)它不被别人认可。事实上，你的证明方法(猜想带入所有条件均成立)只能得到“必要”答案，并不“充分”，你想一下，A满足B就说A=B显然是不充分的。而数学归纳法充分必要，或者说“不大不小，不缩不放”，用你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出来的答案归纳一下就是充分必要。
用导数证明不等式
用导数证明不等式最基本的方法就是 将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..证明：a-a^2>0 其中0
F(a)=a-a^2
F'(a)=1-2a
当00;当1/2
因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明：不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
知sinx
再证x-x/6
对于函数x-x/6-sinx
当x=0时，它的值为0
对它求导数得
1-x/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
要证x/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函数关系，令x=0时，x/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的'当x>0 sinx
x/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0
x/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x/6-sinx是减函数，在0点有最大值0
得x-x/6
利用函数导数单调性证明不等式X-X>0，X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x x∈[0,1]
则f'(x)=1-2x
当x∈[0,1/2]时,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈[1/2,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减
故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值为零
故当x∈(0,1)f(x)=x-x>0。
i、m、n为正整数，且1
求证(1+m)^n > (1+n)^m
方法一：利用均值不等式
对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即
[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]
即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]
即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]
由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。
方法二：导数方法
令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0
求导数
f'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
为了考察f'(x)的正负
令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0
g'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0
因此g(x)0,亦即f'(x)<0
因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。
令A*B*C=K的3次方
求证(1+A)的-(1/2)次方 加(1+B)的-(1/2)次方 加(1+C)的-(1/2)次方 >=(1+K)的-(1/2)次方
化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。
理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。
(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2
=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)
对A求导，f'(A,B)A=0，可得一个方程，解出即得。
用向量法证明
用向量法证明步骤1
记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i・a+i・b+i・c
=a・cos(180-(C-90))+b・0+c・cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a・sinB
CH=b・sinA
∴a・sinB=b・sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤3.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的`圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!
2
设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形
则向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方 a平方+2ab+b平方=4c
平方 (1)
向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方 a平方-2ab+b平方=4d
平方 (2)
(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方
c平方=1/2(a+b)-d平方
AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2
3
已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理
过A做AG‖DC交EF于P点
由三角形中位线定理有：
向量EP=向量BG
又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)
∴向量PF=(向量AD+向量GC)
∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)
∴向量EF=(向量AD+向量BC)
∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)
得证
4
先假设两条中线AD,BE交与P点
连接CP,取AB中点F连接PF
PA+PC=2PE=BP
PB+PC=2PD=AP
PA+PB=2PF
三式相加
2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF
3PA+3PB+2PC=2PF
6PF+2PC=2PF
PC=-2PF
所以PC,PF共线，PF就是中线
所以ABC的三条中线交于一点P
连接OD,OE,OF
OA+OB=2OF
OC+OB=2OD
OC+OC=2OE
三式相加
OA+OB+OC=OD+OE+OF
OD=OP+PD
OE=OP+PE
OF=OP+PF
OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP
由第一问结论
2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP
2PA+2PB+2PC=0
1/2AP+1/2BP+1/2CP
所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP
向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)
★ 若用实验证明
★ 证明
★ 用比喻句
★ 自我介绍用
★ 用数学
